Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Максимум функции у=х^3–5х^2+7х–5

Пришло время в данном разделе  рассмотреть степенные функции. На блоге уже представлены задания на нахождение точек максимума и минимума различных функций, а именно: функций с числом е, с логарифмами, тригонометрические, рациональные

Алгоритм нахождения данных точек оговаривался уже неоднократно, кратко повторюсь:

1. Находим производную функции.

2. Находим нули производной (приравниваем производную к нулю и решаем уравнение).

3. Далее строим числовую ось, на ней отмечаем найденные точки и определяем знаки производной на полученных интервалах. *Это делается путём подстановки произвольных значений из интервалов в производную.

4. Далее делаем вывод.

Если вы совсем не знакомы со свойствами производной для исследования функций, то обязательно изучите статью «Исследование функций. Это нужно знать!».Также повторите таблицу производных и правила дифференцирования (имеются в этой же статье). Рассмотрим задачи:

77431. Найдите точку максимума функции у = х3–5х2+7х–5.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

2 – 10х + 7 = 0

Решая квадратное уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное  значение из каждого интервала в выражение производной:

у(0)' = 3∙02 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

у(2)' = 3∙22 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

у(3)' = 3∙32 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая  точка максимума.

Ответ: 1

 

77432. Найдите точку минимума функции у = х3+5х2+7х–5.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

2 + 10х + 7 = 0

Решая квадратное уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное  значение из каждого интервала в выражение производной:

у(–3)' = 3∙(–3)2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

у(–2)'= 3∙(–2)2  + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

у(0)'= 3∙02 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

В точке х = –1 производная меняет свой знак с отрицательного на положительный, значит это есть искомая точка минимума.

Ответ: –1

 

77435. Найдите точку максимума функции у = 7+12х–х3

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

12 – 3х2 = 0

х2 = 4

Решая уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное  значение из каждого интервала в выражение производной:

у(–3)'=12 – 3∙(–3)2 = –15 < 0

у(0)'=12 – 3∙02 = 12 > 0

у(3)'=12 – 3∙32 = –15 < 0

В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 2

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.

 

77439. Найдите точку максимума функции у =  9х2– х3.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

18х –3х2 = 0

3х(6 – х) = 0

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное  значение из каждого интервала в выражение производной:

у(–1)'=18 (–1) –3 (–1)2 = –21< 0

у(1)'=18∙1 –3∙12 = 15 > 0

у(7)'=18∙7 –3∙72 = –1< 0

В точке х = 6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 6

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.

 

77443. Найдите точку максимума функции у = (х3/3)–9х–7.

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

х2 – 9 = 0

х2 = 9

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное  значение из каждого интервала в выражение производной:

у(–4)'= (–4)2 – 9 > 0

у(0)'= 02 – 9 < 0

у(4)'= 42 – 9 > 0

В точке х = – 3 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: – 3

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 3.

 

77443. Найдите точку максимума функции у = 5+9х– (х3/3).

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

9 – х2  = 0

х2 = 9

Решая уравнение получим:

Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное  значение из каждого интервала в выражение производной:

у(–4)'= 9 – (–4)2  < 0

у(0)'= 9 –  02  > 0

у(4)'= 9 – 42  < 0

В точке х = 3 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: 3

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 3.

 

77419. Найдите точку максимума функции у = х3– 48х+17.  Решение.

77423. Найдите точку максимума функции у = х3–3х2+2. Решение.

77427. Найдите точку максимума функции у = х3+2х2+х+3. Решение.

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (4)
  1. Галина Михайловна

    Спасибо за прекрасную информацию в течение года. Хорошего Вам отдыха и да здравствует 2014—2015 учебный год!

    • Александр Крутицких

      Галина Михайловна, спасибо. Вам хорошего отдыха!

  2. Альфред

    Огромное вам СПАСИБО! ^^ Очень полезный сайт, много хорошего материала для подготовки к экзаменам. Всё очень подробно, словно на блюдечке) Спасибо за ваш труд!

  3. Константин

    СПАСИБО большое за ваше старание ПРОЩЕ НЕ НАЙТИ НИГДЕ

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*