Рациональная функция (точки макс и мин)

Рациональная функция. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров. Требуется определить точки максимума или минимума. Ранее уже были рассмотрены подобные задания с логарифмами, тригонометрическими и степенными функциями.

Рекомендую повторить теорию, необходимую для решения, в том числе приоизводные элементарных функций и правила дифференцирования.

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Вычисляем производную функции.

2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой. 

*Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы возрастания (убывания) функции.

4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из полученных интервалов в производную).

Рассмотрим задания:

77471. Найдите точку максимума функции

Найдём производную данной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции, подставляя значения из интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции. На числовой прямой, кроме найденных корней, так же отмечаем точку в которой производная не существует, для данной функции это точка х = 0 (в ней функция прерывается):

В точке х = – 4  функция меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: – 4

77500. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Найдём производную данной функции:

Найдем нули производной:

*В данном случае производная существует при всех значениях  х.

Отметим на числовой прямой точки х₁ = –17 и х₂ = 17.  Определим знаки производной функции на интервалах, подставляя значения из них в найденную производную:

В точке х = –17 функция меняет знак с положительного на отрицательный,  значит это искомая точка максимума.

Ответ: – 17

77501. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

Найдём производную данной функции:

Найдем нули производной:

*В данном случае производная существует при всех значениях  х.

Отметим на числовой прямой точки х₁ = –1 и х₂ = 1.  Определим знаки производной функции на интервалах, подставляя значения из них в найденную производную:

В точке х = 1 функция меняет знак с отрицательного на положительный,  значит это искомая точка минимума.

Ответ: 1

129871. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Ответ: 18

129901. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

Ответ: –26

132697. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

Ответ: 3

132727.  Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

Ответ: 14

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

В будущем рассмотрим задания с дробно-рациональными функциями, где требуется найти наибольшее (наименьшее) значение на интервале, не пропустите!

Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.