Квадратный трёхчлен в функции

Квадратный трёхчлен в функции. Год назад опубликовал статью, в которой были рассмотрены  функции в составе которых имеется квадратный трёхчлен. Задания на нахождение точек максимума (минимума) или на вычисление наибольшего (наименьшего) значения функции.

Недавно меня попросили рассказать и показать каким образом такие задания можно решить по стандартному алгоритму, то есть через производную. Сразу скажу, что такой подход к решению нерационален, требует больше времени и он «неудобен». Привожу его для вас (чтобы знали).

Рекомендую посмотреть статью «Исследование функций. Это нужно знать!», также помните, что производные элементарных функций нужно знать наизусть, в теме производной без этого никак нельзя. Также необходимо понимание того, что такое сложная функция, в указанной выше статье имеется видео.

Рассмотрим задачи:

Найдите точку максимума функции

Сначала определим, при каких х функция имеет смысл (найдём область определения функции). Так как подкоренное выражение есть число неотрицательное, то решаем неравенство:

13 + 6х – х² ≥ 0

*Как решается квадратное неравенство подробно можно посмотреть здесь.

Данные корни разбивают ось х на три интервала.

Проверим при каких значениях х неравенство будет верным. Подставим из каждого интервала любое значение х в неравенство:

Значит решением неравенства будут являться все значения х принадлежащие интервалу (включая границы):

*Приближенно полученные выражения равны:   

Область определения данной функции найдена.

Вычислим производную функции. Это сложная функция:

Найдем нули производной:

Дробь равна нулю тогда, когда её числитель равен нулю, значит:

6 – 2х  = 0

х = 3

Полученное  значение х входит в область определения и разбивает её на два отрезка. Определим знаки производной на каждом из них (подставим выборочно любые значения в выражение производной), например 2 и 4:

Получили, что в точке х = 3 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума.

Ответ: 3

Комментарий: представленное решение – это полное, математически грамотное решение, то есть такое как должно быть. О чем я? Дело в том, что для составления «полной картины», в первую очередь необходимо найти область определения. Конечно, можно поспорить. Дело в том, можно сразу находить  производную, затем её «нули» и далее установить имеет ли функция значение при этом х. Затем определить знаки в «соседних» точках и станет понятно является ли эта точка точкой максимума (или минимума). Да, можно и так.

Кто проанализировал все типы таких примеров из единого банка заданий ЕГЭ по математике, тот справедливо может сказать, что достаточно вообще найти нули производной, полученное (целое) значение х и будет являться искомым. Согласен! Но понимать суть всего процесса решения «от и до»  необходимо.

Если в подобном задании на ЕГЭ будет стоять вопрос о вычислении наибольшего (наименьшего) значения, то оно будет в точке х, полученной при решении f′(х) = 0, то есть в «нуле функции».

Найдите точку максимума функции у =log₇(–2 – 12х – х²) + 10. 

Вычислим производную функции, используем формулу производной логарифма и производной сложной функции:

Найдем нули производной:

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю:

– 2х –12 = 0

х = – 6

Данное значение обращает подлогарифмическое выражение в положительное:

–2 – 12∙(–6) – (–6)² = 34

то есть оно принадлежит области определения функции.

Определим знаки производной в «соседних» точках, например возьмем точки  –7 и –5:

Получили, что в точке х = – 6 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума функции.

Ответ: –6

Комментарий: здесь мы не стали находить область определения. Сразу вычислили производную и нашли х, при котором производная обращается в нуль. Затем определили знаки производной на интервалах полученных разбиением числовой оси точкой х =  – 6 и сделали вывод.

Если в подобном задании (с логарифмом) будет стоять вопрос о вычислении наибольшего (наименьшего) значения функции, то также вычисляйте его в точке х, полученной при решении f′(х) = 0.

Найдите точку максимума функции 

Вычислим производную функции, используем формулу производной показательной и производной сложной функции:

Найдем нули производной. Известно, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. В данном случае нулю равен только один множитель:

–2х + 12 = 0

х = 6

Определим знаки производной на интервалах, которые получаются разбиением числовой оси точкой х=6, возьмём точки 0 и10:

Получили, что в точке х = 6 производная функции меняет свой знак с положительного на отрицательный, а это означает, что данная точка есть точка максимума функции.

Ответ: 6

Комментарий: в данном случае область определения не имеет ограничений, то есть при всех х функция имеет значение.

Если будет стоять вопрос о нахождении максимального  (минимального) значения функции на определённом интервале, то тут действуйте по стандартному алгоритму (посмотрите задания на сайте, их достаточно).

В любом случае, свойства производной для исследования функции, табличные значения производных и алгоритм нахождения точек максимума (минимума) нужно знать обязательно.

Как вы убедились, данный подход к решению таких заданий (через производную) требует больше времени, знания теории и умственного напряжения. Показал его для того, чтобы знали и понимали, каким образом ещё можно решить подобные задания. Конечно же, этот способ намного проще.

Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.