Нахождение точек максимума (мин) функции. Логарифмы

   Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать задания связанные с исследованием функций. Рекомендую повторить теорию, необходимую для решения задач на нахождение максимального (минимального) значения функции и на нахождение точек максимума (минимума) функции.

Задачи с логарифмами на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции мы уже рассмотрели. В этой статье рассмотрим три задачи, в которых стоит вопрос нахождения точек максимума (минимума) функций, при чём в заданной функции присутствует натуральный логарифм.  

Теоретический момент:

По определению логарифма – выражение стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля. *Это обязательно нужно учитывать не только в данных задачах, но и при решении уравнений и неравенств содержащих логарифм.

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Вычисляем производную функции.

2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой. *Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из них в производную).

5. Делаем вывод.

Найдите точку максимума функции у = ln (х–11)–5х+2

Сразу  запишем, что х–11>0 (по определению логарифма), то есть х > 11.

Рассматривать функцию будем на интервале (11;∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = 11 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х=11,2 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 11,2  

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.

Посмотреть решение

Найдите точку минимума функции у=4х– ln (х+5)+8

Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству логарифма), то есть х>–5.

Рассматривать функцию будем на интервале  (– 5;+∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = –5  не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х= –4,75  производная функции меняет знак с отрицательного на положительный,  значит это искомая точка минимума.

Ответ: – 4,75   

Решите самостоятельно:

Найдите точку минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции у = х²–34х+140lnх–10

По свойству логарифма выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.

Функцию будем рассматривать на интервале (0; +∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решая квадратное уравнение, получим: D = 9    х₁ = 10   х₂ = 7.

Точка х = 0  не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10.

Ось ох разбивается на интервалы:  (0;7),  (7;10), (10; +∞).

Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х = 7 производная функции меняет знак с положительного на  отрицательный,  значит это искомая точка максимума.

Ответ: 7

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у = 2х² –13х+9lnх+8

Посмотреть решение

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.