Найдите наименьшее значение функции y=5cosx–6x+4 на отрезке [–3П/2;0]

   Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения тригонометрической функции на заданном отрезке. Рассмотрим несколько примеров. Но сначала советую повторить теорию, всё необходимое есть в статье «Исследование функций, это нужно знать!».

На блоге уже рассмотрены подобные задачи с логарифмической функцией, функции с числом е, а также функции в составе которых имеется квадратичная функция (решаются без нахождения производной). Можете ознакомиться со статьёй, в которой мы рассматривали нахождение точек максимума (минимума) тригонометрических функций.

Алгоритм процесса решения прост, кратко напомню:

1. Находим производную.

2. Приравниваем её к нулю и решаем уравнение (находим вероятные точки экстремумов).

3. Далее вычисляем значения данной функции на границах отрезка, также в найденных точках п.2.

4. Определяем наибольшее (наименьшее), в зависимости от поставленного вопроса.

Здесь стоит отметить, что если уравнение п.2 не имеет решения, то это означает, что функция на всём отрезке возрастает (рис.1) или убывает (рис.2):

Что это означает? 

Это значит то, что точек минимума (максимума) нет и нам необходимо определить знак производной.

— Если производная имеет отрицательное значение, то функция убывает.

— Если производная имеет положительное значение, то функция возрастает.

Далее мы уже без труда сможем выявить в какой (пограничной) точке отрезка значение функции наибольшее, а в какой наименьшее.

Подробнее:

— если функция возрастает и стоит вопрос о нахождении наибольшего значения на отрезке, то оно будет в крайней правой точке отрезка;

— если функция возрастает и стоит вопрос о нахождении наименьшего значения на отрезке, то оно будет в крайней левой точке отрезка;

— если функция убывает и стоит вопрос о нахождении наибольшего значения на отрезке, то оно будет в крайней левой точке отрезка;

— если функция убывает и стоит вопрос о нахождении наименьшего значения на отрезке, то оно будет в крайней правой точке отрезка.

В представленных ниже задачах нахождение производной подробно не расписано, производные элементарных функций вы должны знать на отлично.

Что ещё следует помнить?

1. Когда речь идёт о синусе и косинусе имеются ограничения:

– 1 ≤ sin x ≤  1      и     – 1 ≤ cos x ≤  1

2. В ответе должно получится целое число, либо конечная десятичная дробь. Если  получили числовое выражение с неизвлекаемым корнем, то оно ответом являться не будет.

25594. Найдите наименьшее значение функции y = 5cosx – 6x + 4

на отрезке [–3П/2; 0].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Известно, что  – 1 ≤ sin x ≤  1, то есть уравнение не имеет решения.

Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. Производная будет отрицательна при всех значениях переменной. Почему?

Если учесть, что  – 1≤sinx≤ 1,  то получаем

– 1≤sinx≤1   =>  5 ≥ –5sinx≥ –5   =>   –1 ≥ –5sinx–6 ≥ –11

то есть значение выражения (производной) «–5cosx – 6» лежит в пределах от  – 11 до  – 1 включительно.

Следовательно на указанном интервале функция убывает, и наименьшее значение будет в крайней правой  точке, то есть при х = 0. Таким образом,

Ответ: 9

26697. Найдите наименьшее значение функции y = 7sin x – 8x + 9

на отрезке [–3П/2; 0].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Известно, что  – 1 ≤ cos x ≤  1, то есть уравнение не имеет решения.

Это означает, что в пределах заданного интервала нет точек минимума и максимума. Производная отрицательна при всех значениях переменной, значение производной лежит в пределах от   – 15 до  – 1 включительно.

Значит на указанном интервале функция убывает. 

Следовательно наименьшее значение функции на заданном отрезке будет в правой крайней точке, то есть при х = 0.

Ответ: 9

77498. Найдите наибольшее значение функции

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Точка x = П/6, принадлежит заданному интервалу.

Вычислим значение функции в точках: 0, П/6, П/2.

Если учесть, что число Пи равно 3,14 а корень из трёх  ≈ 1,73  то значения  вычислить будет не трудно:

Значит наибольшим значением функции на отрезке  будет 12. Данные приближённые значения можно и не вычислять. Достаточно  помнить то, что ответом в задачах части В является целое число, а там где присутствует неизвлекаемый в целых числах корень, целое число мы никак не получим.

Ответ: 12

*Примечание. Корень уравнения мы записали сразу с учётом данного в условии отрезка, поэтому период косинуса в результате не записан.

26699. Найдите наибольшее значение функции

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Значит уравнение не имеет решения, так  как  – 1 ≤ cos x ≤  1.

Учитывая данное ограничение, производная  на данном отрезке имеет отрицательное значение:

Следовательно она убывает. 

Таким образом, наибольшее значение функции на заданном отрезке будет в левой  крайней точке, то есть при х = – 5П/6.

Ответ: 32

26692. Найдите наибольшее значение функции

Посмотреть решение

26693. Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

26695. Найдите наибольшее значение функции

Посмотреть решение

26696. Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

77499. Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

*Примечание. Безусловно, можно после вычисления нулей функции, определить точки максимума (минимума) и далее исходя из этого вычислять наибольшее (наименьшее) значение. Но можно обойтись без этого, так как при подстановке нулей и границ отрезка мы однозначно, и наверняка, искомое значение найдём. В любом случае, используйте тот путь (способ), к которому вы привыкли.

В будущем рассмотрим ещё несколько заданий с тригонометрическими функциями, не пропустите!

На этом всё! Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.