Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике
ШКОЛА ЕГЭ! Сорви максимум баллов!

Решение задач без нахождения производной

Здравствуйте! В этой статье речь пойдёт о задачах, которые можно решать без нахождения производной. В данной рубрике мы уже рассмотрели некоторые примеры с логарифмами, числом е, функции  с произведениямиСмысл заданий тот же –  требуется найти либо точку максимума (минимума) функции, либо определить максимальное (минимальное) значение функции. 

В чём суть и каков «стандартный» алгоритм решения — можно посмотреть в этой статье. Но не для всех заданий применение этого алгоритма будет рационально. Если следовать ему в представленных ниже примерах, то процесс решения будет «перегружен» вычислениями. А потеря времени на экзамене вам не нужна. Так какие же задания имеются ввиду?

В условии дана иррациональная, логарифмическая или показательная функция:

при чём под корнем, под знаком логарифма или в показателе находится квадратичная функция вида:

Рассмотрим подход без нахождения производной. Вы увидите, что такие задачи можно решать устно.

Что необходимо знать? Свойство параболы, напомним его:

Если а > 0, то её ветви направлены вверх.

Если а < 0, то её ветви направлены вниз.

Далее вспомним  координату  (абсциссу)  вершины параболы:

То есть, это точка экстремума квадратичной функции – в ней функция меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот.

Следующий важный факт (ключевой для этих задач):

Если исходная функция монотонна (непрерывно возрастает или убывает), для нее указанная точка «х» также будет точкой экстремума.

Почему? Давайте рассмотрим отдельно функции подробнее.

Квадратичная функция в показателе степени (при чём n>1):

Смотрите! Представим, что ax2+bx+c=z. Можем записать:

Получается что значение z изменяется следующим образом.

Вариант когда a>0 (ветви параболы направлены вверх) – при х от минус бесконечности до –b/2a  z уменьшается, в точке –b/2a значение будет минимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z увеличивается.

Это означает, что и сама функция у=nf(x) будет имет минимальное значение в точке х=–b/2a, так как при минимуме в показателе получится минимум в результате.

Вариант когда a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до  –b/2a  z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z уменьшается.

Это означает, что и сама функция у=nf(x) будет иметь максимальное значение в точке х=–b/2a, так как при максимуме в показателе получится максимум в результате.

Квадратичная функция под знаком логарифма (при чём n>1):

Представим, что ax2+bx+c=z. Можем записать:

Получается что значение z изменяется следующим образом:

Вариант когда a>0 (ветви параболы направлены вверх) –  при х от минус бесконечности до  –b/2a  z уменьшается, в точке –b/2a значение будет минимальным, далее при х от–b/2a  до бесконечности z увеличивается.

Это означает, что и сама функция lognz будет имет минимальное значение в точке х=–b/2a. Так как логарифмическая функция уменьшается при уменьшении аргумента (видно по графику).

Вариант когда a<0 (ветви параболы направлены вниз) – при х от минус бесконечности до  –b/2a  z увеличивается, в точке –b/2a значение будет максимальным, далее при х от –b/2a  до бесконечности z уменьшается.

Это означает, что и сама функция lognz будет имеет максимальное значение в точке х=–b/2a. Так как логарифмическая функция увеличивается при увеличении аргумента (видно по графику).

Квадратичная функция под знаком корня:

Представим, что ax2+bx+c=z. Можем записать:

Получается что:

При a>0 значение z минимально в точке х=–b/2a, а значит и сама функция будет иметь минимальное значение. *Корень из наименьшего значения в результате даст наименьшее число.

При a<0 значение z максимально в точке х=–b/2a, а значит и сама функция будет иметь максимальное значение.

Таким образом, сформулируем ключевое правило:

ВНИМАНИЕ! Конечно, если глубже уйти в тему, то возможны варианты когда сложная функция имеет отрицательный знак, когда логарифм находится в знаменателе дроби, когда основание логарифма или основание степени находится в пределах от 0 до 1. Разумеется,  важно понимать как ведёт себя данная в условии функция (возрастает или убывает). Но для решения типовых заданий экзамена указанного вывода вам будет вполне достаточно.

И конечно, не теряйте из виду область допустимых значений заданной функции:

— выражение стоящее под знаком корня, больше или равно нулю (число неотрицательное).

— выражение стоящее под знаком  логарифма, есть положительное число.

— выражение стоящее в знаменателе дроби не равно нулю.

В подобных задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, я бы посоветовал находить область определения в любом случае (даже не смотря на то, что в представленных ниже примерах это ничего важного нам не даёт и не влияет на ответ).

Рассмотрим примеры:

*Контент (более шести решенных заданий) доступен только для зарегистрированных пользователей! Вкладка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После прохождения регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.

В данной рубрике мы ещё рассмотрим задания с тригонометрическими функциями, не пропустите! Успеха вам!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

Все секреты здоровья позвоночника!

Отзывов (2)
  1. Виктор

    Почему то я так и не перешел на ты с B14.Александр,в целом задание B14 по уровню сложности самое сложное в части B?Или оно только кажется сложным?

    • Александр Крутицких

      Да, задачи с производными заставляют потрудиться. Но если таблица производных на зубок, и её свойства для исследования функций поняты, то оказывается, что сложностей как небывало.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

17 − пятнадцать =

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.