Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Решение задач без нахождения производной

    Здравствуйте, Дорогие друзья! Ещё раз поздравляю вас с майскими праздниками, желаю вам мира, радости, добра, жизнелюбия. Экзамен не за горами, не будем суетиться и переживать, будем готовиться. В этой статье речь пойдёт о задачах, которые можно решать без нахождения производной.

Смысл заданий тот же –  требуется найти либо точку максимума (минимума) функции, либо определить максимальное (минимальное) значение функции. В данной рубрике мы уже рассмотрели некоторые примеры с логарифмами, числом е, функции  с произведениями.

В чём суть и каков «стандартный» алгоритм решения — можно посмотреть в этой статье. Но не для всех примеров применение этого алгоритма будет рационалено. Если следовать ему в представленных примерах, то процесс решения будет «перегружен» вычислениями. 

Так какие же задания имеются ввиду?

В условии дана иррациональная, логарифмическая или показательная функция:

при чём под корнем, под знаком логарифма или в показателе стоит квадратичная функция вида:

Мы рассмотрим подход без нахождения производной. Вы увидите, что такие задачи можно решать устно.

Что необходимо знать?

Свойство параболы, напомним его:

Если а > 0, то её ветви направлены вверх.

Если а < 0, то её ветви направлены вниз.

Далее вспомним  координату  (абсциссу)  вершины параболы:

То есть, это точка экстремума квадратичной функции (в ней функция меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот).

Следующий важный факт (ключевой для этих задач)!

Если исходная функция монотонна (непрерывно возрастает или убывает), для нее точка х также будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

И конечно, не теряйте из виду область допустимых значений заданной функции:

— выражение стоящее под знаком корня, больше или равно нулю (число неотрицательное).

— выражение стоящее под знаком  логарифма, есть положительное число.

— выражение стоящее в знаменателе дроби не равно нулю.

В подобных задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, я бы посоветовал находить область определения в любом случае (даже не смотря на то, что в представленных задачах это ничего нам не даёт).

Рассмотрим задачи:

Найдите точку максимума функции 

Под корнем  квадратичная функция  13 + 6х – х2

Ее график — парабола, ветви направлены вниз, поскольку  а = – 1 < 0

Значит, максимальное значение  функция приобретает в точке:

Проверим, принадлежит ли полученное значение области определения. То есть будет ли подкоренное выражение числом неотрицательным:

13 + 6∙3 – 32 = 13 + 18 – 9 = 22 > 0

Почему необходимо это сделать? Дело в том, что абсцисса соответствующая вершине параболы может не войти в область определения, это будет означать, что области определения будет принадлежать только участок ветви параболы (таких заданий на ЕГЭ не будет).

Ответ: 3

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции

Под корнем  квадратичная функция   х2 + 8х + 185.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а =  1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

Так как  ветви параболы направлены вверх, то в точке  х = – 4 функция

х2 + 8х + 185 принимает наименьшее значение.

Функция кважратного корня монотонно возрастает, значит х = 4 точка минимума  всей функции, вычислим  её наименьшее  значение:

Ответ: 13

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции у=log7(–2 – 12х – х2) + 10. 

Под знаком логарифма квадратичная функция    –2 – 12х – х2.

График — парабола, ветви направлены  вниз, так как а = – 1 < 0 

Абсцисса вершины параболы:

Проверим, принадлежит ли полученное значение х области определения (выражение под знаком логарифма должно быть число положительное):

– 2 – 12∙(–6) – (–6)2 = – 2 + 72 – 36 = 34 > 0

То есть, в точке х = – 6

функция f (х) = – 2 – 12х – х2   будет иметь  максимальное значение.

Значит, и у=log7(–2–12х–х2)+10  в этой точке так же будет иметь максимальное значение.

Ответ: – 6.

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у=log2(2 + 2х – х2) – 2

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции  у=log92 – 10х + 754) + 3

Под корнем  квадратичная функция   х2  – 10х + 754.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = 5 функция f (x) = х2  – 10х + 754 принимает наименьшее значение.  

Функция log9х  монотонная, значит у =log92 – 10х + 754) + 3  в точке х = 5 также принимает наименьшее значение, вычислим его:

Ответ: 6

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции  у=log32 – 6х + 10) + 2

Посмотреть решение

Найдите точку максимума функции 

В показателе стоит квадратичная функция   – 30 + 12х – х2.     

График — парабола, ветви направлены  вниз, так как а = –1 < 0.

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = 6 функция f (х) = – 30 + 12х – х2 приобретёт максимальное значение. Значит и данная функция в этой точке будет иметь также максимальное значение.

Ответ: 6

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции: 

Посмотреть решение

Найдите наименьшее значение функции

В показателе стоит   квадратичная функция  х2  + 16х + 66.

Ее график — парабола,  ветви направлены вверх,  поскольку а = 1 > 0

Абсцисса вершины параболы:

То есть, в точке х = – 8 функция х2  + 16х + 66 принимает наименьшее значение.

Показательная  функция монотонна, поэтому её наименьшее значение будет также в точке х = – 8, вычислим его  

Ответ: 36

Решите самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение


Разумеется,  что  это краткая схема решения и, конечно же, нужно понимать свойства квадратичной, показательной, логарифмической, дробно-рациональной функции,  но эта схема работает.

В данной рубрике мы ещё рассмотрим задания с тригонометрическими функциями, не пропустите! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (2)
  1. Виктор

    Почему то я так и не перешел на ты с B14.Александр,в целом задание B14 по уровню сложности самое сложное в части B?Или оно только кажется сложным?

    • Александр Крутицких

      Да, задачи с производными заставляют потрудиться. Но если таблица производных на зубок, и её свойства для исследования функций поняты, то оказывается, что сложностей как небывало.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*