Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Функции с логарифмами (наиб и наим значение)

  Функции с логарифмами (наибольшее и наименьшее значение). В этой статье речь пойдёт о задачах на нахождение  наибольшего и наименьшего значения функции. Есть группа задач, входящих в ЕГЭ — это задачи с логарифмами. Задания связанные с исследованием функции разнообразны. Кроме логарифмических функций могут быть: функции с числом е, с тригонометрическими функциями, дробно-рациональные функции и прочие.

В любом случае рекомендую ещё раз просмотреть теорию изложенную в статье «Исследование функций. Это нужно знать». Если вы этот материал поняли и имеете хороший навык нахождения производных, то любую задачу в этой теме решите без труда.

Напомню алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке:

1. Вычисляем производную.

2. Приравниваем её к нулю и решаем уравнение.

3. Определяем принадлежат ли полученные корни (нули производной) данному отрезку. Отмечаем те, которые принадлежат.

4. Вычисляем значения функции на границах отрезка и в точках (полученных в предыдущем пункте) принадлежащих данному отрезку.

Рассмотрим задачи:

Найдите наименьшее значение функции у=5х–ln (х+5) на отрезке [–4,5;0].

Необходимо вычислить значение функции на концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале, и выбрать наименьшее из них.

Вычисляем производную, приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

*Дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю.

Точка  х= – 4  принадлежит заданному интервалу. 

Таким образом, вычисляем значение функции в точках: – 4,5; – 4; 0.

Значения с логарифмами, которые мы получили, вычислить (или проанализировать) можно. И вы убедитесь, что наименьшим значением функции на данном отрезке  является    "– 20".

Но вычислять их не обязательно. Почему? Мы знаем, что ответом должно быть либо, целое число, либо конечная десятичная дробь (это условие ЕГЭ в части В). А значения с логарифмами:  – 22,5 – ln 0,55  и   – ln3125  такого ответа не дадут.

Кроме того, убедится в том, что в точке х=–4 функция приобретает минимальное значение, можно определив знаки производной на интервалах от (– 5:– 4) и (– 4;+). 

Теперь информация для тех, у кого с производной и пониманием того, как решать подобные задачи, нет трудностей. Как можно обойтись без вычисления производной и без лишних расчётов?

Итак, если учесть, что ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то такое значение мы можем получить только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма в скобках у нас будет единица или число е. В противном случае, мы не сможем получить оговоренное значение. А это возможно только при  х = – 4.

Значит, в этой точке значение функции будет наименьшим, вычислим его:

Ответ: – 20

Решить самостоятельно:  

Найдите наименьшее значение функции у=3х– ln (х+3)3 на отрезке [–2,5;0].

Посмотреть решение

Найдите наибольшее значение функции у=ln (х+5)5 на отрезке [–4,5;0].

Посмотреть решение

Найдите наибольшее значение функции у=х2–13х+11∙lnх+12 на отрезке [13/14; 15/14]. 

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо вычислить значение функции на его концах, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале.

Вычислим производную, приравниваем её к нулю, решим полученное уравнение:

Решив квадратное уравнение,  получим

Точка  х = 1, принадлежит заданному интервалу.

Точка  х = 22/4 ему не принадлежит.

Таким образом, вычисляем значение функции в точках:

Мы знаем, что ответом является целое число либо конечная десятичная дробь, значит, наибольшее значение функции равно 0. В первом и третьем случае такое значение мы не получим, так как натуральный логарифм данных дробей  такого результата не даст.

Кроме того, убедится в том, что в точке х = 1 функция приобретает максимальное значение, можно определив знаки производной на интервалах от (0:1) и (1;+). 

Как решить такой тип задач без вычисления производной?

Если учесть, что ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то это условие обеспечивается только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма  у нас будет единица или число е.

Это возможно только при  х = 1.

Значит в точке х = 1  (или 14/14) значение функции будет наибольшим, вычислим его:

Ответ: 0

Решите самостоятельно:

Найдите наибольшее значение функции  у = 2х2–13х+9∙lnх+8 на отрезке [13/14; 15/14]. 

Посмотреть решение


Отмечу, что способ решения таких заданий без нахождения производных, можно использовать только для экономии времени при вычислении задания на самом ЕГЭ. И только в том случае, когда вы отлично понимаете, как решать такие задачи через нахождение производной (по алгоритму) и хорошо умеете это делать. Бесспорно, что при решении без производной должен быть некоторый опыт в аналитике.

«Хитрых» приёмов, которые порой помогают в конкретных заданиях множество, и все их не запомнить. Важно понимать принципы решения, свойства. Если же вы возложите свои надежды на какой-то приём, то он может просто не сработать по простой причине: вы его просто забудете или вам попадёт такой тип задания на ЕГЭ,  который видите впервые.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите! 

На этом всё. Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (7)
  1. Герман

    Как решить вот такую задачу? Совсем идей нет.

    Задача. Найдите число тех точек, принадлежащих отрезку [-3;6], в которых значение функции y=x^3-6x^2+9 является целым числом. (x^n — число x в степени n)

    Заранее спасибо! (Задача из сборника Математика ЕГЭ-2015 под ред. Мальцева)

    • Александр

      В задачнике эта задача из какого раздела? К какому заданию (1-21)относится?

  2. Женя

    Помогите, никак не могу понять. Откуда взялось (х-3) и куда потом делось (х-5) в знаменателе?

  3. Владимир Владимирович Зайцев

    Я " чайник " , и потому не понял : причем тут * ( дробь равна нулю , когда числитель равен нулю ) . И потом , зачем рассматривать значения функции в точке 0 , помимо 4,5 и 4,0 !

    С уважением В В

    • Александр

      1. Про *. Это просто примечание к решению уравнения, если кто забыл.

      2. В точке 0 рассматриваем значение по простой причине.

      Вот ученик подобный пример. Получает нуль производной. Учитывая то что не для всех решающих поведение функции очевидно не обходимо исключить любую возможность ошибки. Давайте представим, что функция убывает к точке 4, точка 4 является стационарной точкой к которой производная равна нулю, а далее функция снова убывает до точки 0. Получается что наименьшее значение на интервале будет в точке 0.

      Понятно, что для «опытного глаза» сразу видно, что при данной функции , да и вообще на заданиях ЕГЭ таких примеров не будет. Но я считаю, что лучше исключить возможность ошибки абсолютно.

      Или например. Функция может возрастать к точке х=4 и далее убывать, тогда наименьшее значение будет на одной из границ.

      Конечно, если при решении вычислить знаки производной, то всё встаёт на свои места и наименьшее значение будет в точке минимума.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*