Найдите наименьшее значение функции y=4tgx–4x–Пи+5 на отрезке

    Здравствуйте! В данной заметке ничего нового, это небольшой довесок к статье, где задания такого типа мы уже рассматривали, поэтому никакой теорией вас загружать не буду, всё уже есть в указанной статье и здесь. Рассмотрим ещё три тригонометрические функции, будет полезно.

Подходы к решению заданий данного типа есть разные. Например, для того, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке:

Одни ребята (СПОСОБ 1) находят нули производной, затем определяют точки максимума (минимума), и  далее с их учётом вычисляют искомое значение;

Другие (СПОСОБ 2) нули производной тоже вычисляют, но далее точки максимума (минимума) не определяют, просто подставляют в функцию значения на границах отрезка и найденные нули производной (принадлежащие интервалу). Затем приозведя вычисления определяют наибольшее (или наименьшее) значение функции, смотря что требуется в условии.

Лично я сторонник второго подхода. Почему?

*Первый тоже хорош, но есть нюансы, о них скажу далее.

Сначала посмотрите на два графика:

Например, дана функция на отрезке, и если построить её график, то он будет выглядеть как изображено на Рис (а). 

При первом способе: если, например, требуется найти наибольшее значение функции на отрезке, то возникает соблазн вычислить значение функции только в точке х₂, упустив точку х₄. В итоге ответ будет неверен.

В случае, когда  график будет выглядеть как показано на Рис (б), ошибки, разумеется, не будет, но в том-то всё и дело, что мы не знаем как выглядит график, ведь он в условии не дан.

При втором способе ошибка полностью исключена, как бы не выглядел график.

Напомню чему равна производная числа, функции х, и  тангенса:

Теперь рассмотрим задания:

26705. Найдите наименьшее значение функции

y = 4tgx– 4x – П + 5  на отрезке   [– П/4; П/4].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Заданному интервалу принадлежит только х = 0, вычислим значения функции в точках:  – П/4; 0;  П/4.

Наименьшее значение функции равно 1.

Ответ: 1

Найдём производную заданной функции:

Найденная производная неположительна на заданном отрезке.

Выражение  4/cos²x   всегда будет больше или равно четырём, так как значение квадрата косинуса находится в пределах от  0  до 1.

Таким образом, выражение:

может приобретать только отрицательные значения или равное нулю.

На основании этого можем сделать вывод, что функция на заданном интервале убывает, следовательно, наименьшим значение функции будет в крайней правой  точке, то есть при х = 0.

*Далеко не все сразу глядя на производную могут сходу определить  какой она имеет знак и сделать вывод о поведении функции на отрезке (возрастание/убывание). Поэтому, в любом случае, можно определить нули производной. Решим:

Заданному отрезку принадлежит только х = 0, это его граница. Но так как вывод о возрастании (убывании) функции нами не сделан, то необходимо вычислить значение производной на обеих границах:

Наименьшее значение функции равно 12.

Ответ: 12

Найдём производную заданной функции:

Найдём нули производной:

Точки  – П/4  и  П/4  принадлежат заданному интервалу.

Значит вычисляем значения функции в точках:  – П/3; – П/4;  П/4;  П/3.

Всегда помним, что в ответе должно быть целое число, значит наибольшее значение функции равно 4.  В ответах 1, 2, 4 целое число не получится, так как присутствует корень и число Пи. Для проверки вычислите эти выражения  приближенно, и вы убедитесь, что они меньше  4.

Ответ: 4

*Примечание. При решении тригонометрических уравнений  результат записан с учётом данного в условии отрезка, поэтому периодичность не отражена.

26703. Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

26706. Найдите наибольшее значение функции

Посмотреть решение

77494. Найдите наибольшее значение функции

Посмотреть решение

77495. Найдите наименьшее значение функции

Посмотреть решение

Что могу ещё добавить?

Информация для тех, кто с темой производной и всё что с ней связано никак «не дружит». Как, например, можно решить следующее задание (да и любое  аналогичное)?

26705. Найдите наименьшее значение функции

y = 4tgx– 4x – П + 5  на отрезке   [– П/4; П/4].

Необходимо взять границы отрезка и все табличные значения углов принадлежащие ему, далее подставить их  в данную функцию и вычислить. После этого определить наименьшее значение не трудно, нужно будет просто выбрать его. Всегда помните, что в ответе должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь. Если в результате получены выражения с числом Пи или корнями, то таковое ответом быть просто не может.

В данном случае нужно взять точки:

И вычислить:

Если, например, будет дан интервал   [– П/3; П/3],  нужно будет взять точки

Понятно, что не во всех заданиях это применимо, например, если будет дан интервал [–3П/2;0], то табличных значений будет многовато. Но в большинстве  подобных примеров такой подход сработает точно.

На этом всё. В будущем так же рассмотрим рациональные функции, не пропустите! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.