Исследование функции с помощью производной

Исследование функции с помощью производной. В этой статье мы с вами разберём некоторые задачи связанные с исследованием графика функции. В таких задачах, даётся график функции y = f (x) и ставятся вопросы, связанные с определением количества точек, в которых производная функции положительна (либо отрицательна), а также  другие. Их относят к заданиям на применение производной к исследованию функций.

Решение таких задач, и вообще задач связанных с исследованием, возможно только при полном понимании свойств производной для исследования графиков функций и геометрического смысла производной. Поэтому настоятельно рекомендую вам изучить соответствующую теорию. Можете изучить статью на блоге, а также посмотреть справочник (но в нём краткое изложение).

Задачи, где дан график производной мы будем также рассматривать в будущих статьях, не пропустите! Итак, задачи:

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−6; 8). Определите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

2. Количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

3. Количество точек, в которых производная равна нулю;

1. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). В них содержатся целые точки  −5,  −4,  1, 2, 3, 4,  и  7. Получили  7 точек.

2. Прямая  y = 2 параллельная оси ох.  Касательная будет параллельна прямой  y = 2 только в точках  экстремума (в точках, где график меняет своё поведение  с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек четыре:  –3; 0; 4,2; 6,9

3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Посмотреть решение.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале (−5; 5). Определите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;

2. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 3;

3. Количество точек, в которых производная равна нулю;

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на  интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (1,4; 2,5) и (4,4;5). В них содержится только  одна целая точка х = 2.

2. Прямая  y = 3 параллельная оси ох.  Касательная будет параллельна прямой  y = 3 только в точках  экстремума (в точках, где график меняет своё поведение  с возрастания на убывание или наоборот).

Таких точек четыре:  –4,3; 1,4; 2,5; 4,4

3. Производная равна нулю в четырёх точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Определите количество целых точек, в которых производная функции  f (x) отрицательна.

Посмотреть решение.

На рисунке изображен график функции у = f (х), определенной на интервале  (−2; 12). Найдите:

1. Количество целых точек, в которых производная функции положительна;

2. Количество целых точек, в которых производная функции отрицательна;

3. Количество целых точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 2;

4. Количество точек, в которых производная равна нулю.

1. Из свойств производной функции известно, что она положительна на  интервалах, на которых функция возрастает, т. е. на интервалах (–2; 1), (2;4), (7; 9) и (10;11). В них содержатся целые точки:   –1, 0, 3, 8. Всего их четыре.

2. Производная функции отрицательна на интервалах, на которых функция убывает, то есть на интервалах (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11;12). В них содержатся целые точки  5  и  6. Получили  2 точки.

3. Прямая  y = 2 параллельная оси ох.  Касательная будет параллельна прямой  y = 2 только в точках  экстремума (в точках, где график меняет своё поведение  с возрастания на убывание или наоборот). Таких точек семь:  1; 2; 4; 7; 9; 10; 11.

4. Производная равна нулю в семи точках (в точках экстремума), их мы уже указали.

Решите самостоятельно:

Найдите сумму точек экстремумов функции f (x). Посмотреть решение.

Как видите, ничего сложного нет. Желаю вам успехов!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.