Классическая вероятность события. Термины

Классическая вероятность события. Здравствуйте, Дорогие друзья! В состав экзамена по математике с 2012 включены задания по теории вероятностей. Более половины из них это задачи самого простого уровня — на классическую вероятность. Решаются такие задания в одно действие, требуется простая логика, и понадобятся для этого лишь самые основные понятия.

В 2013 году добавили задания посложнее, для решения необходимо знать и понимать теоремы сложения и умножения вероятностей, но и они по своей сути просты. И те и другие задачи представлены на сайте, регулярно добавляются новые.

Простая теория простым языком.

В жизни в разговорах людей вы, наверное, не раз слышали, что событие может случится с вероятностью один к одному (или 50 на 50 – говоря так люди имеют ввиду проценты), или один к десяти. Также вы слышали выражения — «даю стопроцентную гарантию», «это невозможно». Все эти высказывания имеют самое непосредственное отношение к теории вероятностей. Вы, конечно же, интуитивно знакомы с этим понятием.

Ознакомимся с основными понятиями и терминами (без них никак нельзя).

Действие направленное на получение того или иного результата называется испытанием. Любой результат испытания называется исходом.

Исход вообщем-то и представляет собой появление определенного события. В частности, при подбрасывании кирпича возможно два исхода — он может остаться целым или расколоться.

Событие — это одно из базовых понятий теории вероятностей. Они бывают достоверными, невозможными и случайными.

Достоверным называют событие, которое в результате испытания (осуществления определенных действий, или определённого комплекса действий) обязательно произойдёт.

Например:

• мы бросаем игральную кость, она обязательно упадет (не может зависнуть в воздухе) и в результате выпадет какая-нибудь грань. *При данном действии это событие не может не произойти;
• если мы устанавливаем новую лампочку, то она может в течение года либо перегореть, либо остаться исправной в течении года. Обязательно произойдёт одно из двух эти событий.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдёт в результате испытания.

Пример невозможного события: при бросании игральной кости с шестью гранями выпадет семёрка. *Понятно что такого события произойти не может. Седьмой грани просто нет.

Событие называется случайным, если оно может, как произойти, так и не произойти. Его нельзя точно предсказать заранее. Случайное событие – есть следствие случайных факторов, воздействие которых предугадать невозможно.

Например, отказ работы сложного электроприбора состоящего из множества элементов. Это не возможно предсказать заранее.

События обозначают большими латинскими буквами A,B,C,D,E,F, либо теми же буквами с подстрочными индексами. Мы при решении типовых задач будем избегать лишних обозначений и прочих теоретических выкладок, они отнимают время. На самом экзамене фактор времени важен и вам нужно быстро решить задачу. Теперь приведём простые примеры.:

Монета

Бросаем монетку. Орел или решка? Орел и решка — два возможных исхода испытания. *В данном случае монета не может ни зависнуть, ни встать на ребро.

Орел выпадет в одном случае из двух возможных. Говорят, что вероятность того, что монетка упадет орлом, равна ½ (или 0,5). Так же вероятность выпадения решки равна ½.

Игральная кость

У кубика шесть граней, поэтому возможных исходов шесть (кубик упадёт на одну из шести граней).  

Выпадение одного очка это один исход из шести возможных. Выпадение двух очков, это один исход из шести возможных. Если поставить вопрос: какова вероятность выпадения двух очков? Такой исход (выпадение двойки) называется благоприятным исходом. Вероятность равна 1/6.

Вероятность выпадения тройки так же равна 1/6 (один благоприятный исход из шести возможных). Вероятность четверки аналогично. А вот вероятность появления семёрки равна нулю — ведь грани с семью точками на кубике нет.

Карты

Возьмём колоду из 36 карт. Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт одну загаданную равна будет равна один к тридцати шести или 1/36. Тридцать шесть это число возможных исходов, которые могут произойти (число всех карт), один это число благоприятных исходов (загаданная карта).

Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт туза, равна 4 к 36 или 4/36. Четыре это число благоприятных исходов (в колоде четыре туза), тридцать шесть — число возможных исходов.

Вероятность того, что вы вытащите из колоды карт красную карту (черви или буби) равна 1 к 2 или ½. Число благоприятных исходов 18 (красных карт ровно половина), возможных исходов также 36, 18/36=½. 

Другая важная характеристика событий – это их равновозможность. Два или большее количество событий называют равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например:

• выпадение орла или решки при броске монеты;
• при бросании двух монет возможны 4 варианта исходов: орёл-орёл, орёл-решка, решка-орёл, решка-решка. *Ввиду того что вероятность выпадения орла или решки равна 0,5, то данные события равновозможны;
• выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков при броске игрального кубика;
• извлечение любой загаданной карты из колоды;
• извлечение карты трефовой масти из колоды (или любой другой). *Их в колоде равное количество (9 каждой масти). Понятно, что возможности вытащить карту определённой масти  равны.

*При этом предполагается, что монета и кубик однородны и имеют геометрически правильную форму, а колода хорошо перемешана и «идеальна» с точки зрения неразличимости рубашек карт.

Исходя из простых примеров разобранных выше вы уже, можно сказать, прочувствовали само понятие классической вероятности события. Таким образом, к вашему вниманию определение:

Понимания этого определения вполне достаточно, чтобы решить более половины всех типов задач. Важно безошибочно определить число всех возможных и благоприятных исходов. Формально это можно выразить так:

где m  — количество исходов благоприятствующих событию А

   n — число всех равновозможных исходов

*Очевидно, что вероятность не может быть больше единицы.

ПРИМЕР: В урне 34 шара одинакового размера, из них 8 — красные, остальные — зеленые. Вы запускаете в урну руку и наугад вынимаете один. Какова вероятности взять красный шар?

Всего в урне 34 шара, это число всевозможных элементарных исходов. Благоприятных исходов 8. По определению искомая вероятность  Р= 8/34.

*Вероятность вытащить зеленый  шар  равна 26/34.

Вероятность достать либо красный либо зеленый шар равна 8/34 + 26/34 = 1. Это означает, что событие — достанете либо красный, либо зелёный шар произойдёт в любом случае. Единица это полная вероятность — говоря простым языком это сумма вероятностей всех возможных событий, которые могут произойти.

Если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров, то появление красного или зеленого шаров – равновозможно, Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

В следующей статье мы рассмотрим ещё задачи, где используется сумма и произведение вероятностей событий, не пропустите!

Понятие полной вероятности, совместности (несовместности) событий, зависимые и независимые события мы разберём в одной из следующих статей.

Задачи ЕГЭ на классическую вероятность рассмотрены здесь.

Рекомендуемая литература:

1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

Прекрасное учебное пособие, доходчиво, предельно понятно.

2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Решебник Владимира Ефимовича с подробно разобранными примерами и задачами.

Найдите или скачайте эти книги для изучения.

С уважением, Александр.

— Леша, у тебя замечательное сочинение! — говорит учитель.
— Но почему ты его не закончил?
— Потому что папу срочно вызвали на работу.
Учительница: — Вовочка, кто такой Чапаев?
— Это пpедводитель негpов!
— Каких ещё негpов?
— Hу, вы же сами сказали, что он воевал пpотив белых.
— Чапаев — пpедводитель кpасных!
— Что, там и индейцы были замешаны?

P.S: Буду вам благодарен, если расскажете о сайте  в социальных сетях.