Здравствуйте, друзья! Эта статья является продолжением статьи «Сложение и умножение вероятностей. Часть 1». В ней мы рассмотрели основы необходимой теории и решили несколько задач. Здесь вас ждёт ещё четыре. Рассмотрим их:
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
То есть нам необходимо найти вероятность события, когда не перегорят обе лампы, либо не перегорит только первая лампа, либо не перегорит только вторая лампа.
По условию вероятность перегорания лампы 0,2. Значит вероятность исправности лампы в течение года равна 1– 0,2 = 0,8 (это противоположные события).
Вероятность события:
«не перегорят обе» будет равна 0,8∙0,8 = 0,64
«не перегорит первая, но перегорит вторая» равна 0,8∙0,2 = 0,16
«перегорит первая, но не перегорит вторая» равна 0,2∙0,8 = 0,16
Таким образом, вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит будет равна 0,64 + 0,16 + 0,16 = 0,96
Можно решить так:
Вероятность того, что перегорят обе лампы равна 0,2∙0,2 = 0,04
Эти события независимы, но при одновременном (совместном) их совершении вероятности перемножаются. То есть вероятность того, что перегорят обе равна произведению вероятностей.
Событие «не перегорит хотя бы одна лампа» противоположно событию «перегорят обе лампы», следовательно она будет равна 1 – 0,04 = 0,96.
Ответ: 0,96
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 20 револьверов, из них только 8 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер (1 из 8) и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер (1 из 12) и промахнется из него.
*Вероятность промахнуться из пристрелянного револьвера равна 0,2. Вероятность промахнуться из непристрелянного револьвера равна 0,8.
1. Вероятность взять пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна (8/20) ∙0,2 = 0,08.
2. Вероятность взять непристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна (12/20) ∙0,8 = 0,48.
Эти два события несовместны, значит искомая вероятность будет равна сумме вероятностей: 0,08+0,48 = 0,56
Ответ: 0,56
На фабрике керамической посуды 5% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
*Число всевозможных и благоприятных исходов явно не задано (так как о количестве тарелок в условии нет информации).
Пусть n – это количество тарелок, которые произвёл завод. Тогда в продажу поступят качественные тарелки (это 0,95n) и 10% невыявленных дефектных тарелок (это 0,1 от 0,05n).
То есть 0,95n+0,1∙0,05n=0,955n тарелок, это есть число всевозможных исходов. Поскольку качественных из них только 0,95n (это число благоприятных исходов), то вероятность купить качественную тарелку будет равна:
Округляем до сотых, получим 0,99
Ответ: 0,99
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Нам необходимо найти вероятность события, когда занят первый продавец, при этом занят второй, и при этом (занятости первого и второго) ещё занят и третий. Используется правило умножения.
*Вероятность произведения независимых событий при совместном и совершении равна произведению вероятностей событий. Значит вероятность того, что все три продавца заняты будет равна:
0,2∙0,2∙0,2 = 0,008
Ответ: 0,008
Решить самостоятельно:
В данной рубрике продолжим рассматривать задачи! Самые «интересные» вас ждут впереди, до ЕГЭ успеем.
На этом всё. Успехов вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Ваши рассылки у меня опять открываются, чему я очень рада. Спасибо за вашу информацию по математике.
Галина Михайловна, рад! Пожалуйста.
Великолепно, доступно, лаконично. Очень благодарна. Появилась экстренная необходимость решить ряд задач по статистике. За 7 часов поисков в интернете не нашла ничего лучше Вашей работы. Все сразу встало в голове на свои места. Еще раз спасибо.
Здравствуйте. Очень нравится ваш сайт, все задания решены очень подробно. И хотелось бы вас попросить решить задачу, а именно «В классе 16 учащихся, среди них 2 друга — Олег и Михаил. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Михаил окажутся в одной группе.», с решением которой возникло очень много споров.
3/15 = 0,2
Посмотрите решение про Аню и Нину
matematikalegko.ru/ege/za...sti-novye-2013-7
*Одинаковые по смыслу задачи.
Да, это решение я видела и метод ваш поняла. Однако, в одном учебнике в разделе комбинаторика я столкнуласть с подобными задачами, но решались они совсем другим методом, а именно 'сочетанием'. Только вот ответ совсем не сходится. ВаМ знакомо ''
Да, это решение я видела и метод ваш поняла. Однако, в одном учебнике в разделе комбинаторика я столкнуласть с подобными задачами, но решались они совсем другим методом, а именно 'сочетанием'. Только вот ответ совсем не сходится. Вам знаком такой метод, как'сочетание', и, если да, как вы считаете, может быть правельнее решать именно им?
Алиана, здравствуйте.
Действительно, все эти задачи про группы и деления можно решать через сочетания.
Касаемо Вашей задачи (да и вообще любой подобного типа) метод таков:
1. Выборка должна быть неупорядоченная (Саша и Олег или Олег и Саша одно и то же). Следовательно нам нужна формула сочетаний Цэ из эн по ка.
2. Нужно найти кол-во способов выбора n человек из общего количества. (В нашем случае — сколько способов существует для выбора из 16 ч. двух). Пользуемся формулой сочетаний (Цэ из 16 по 2), получаем 120 способов.
3. Нужно найти кол-во способов выбора n человек уже не из общего кол-ва, а из поделенной группы (Наш случай — 16:4 — по 4 человека в группе, выбираем двух из четырех). Получаем 6 способов.
4. Делим 6:120, чтобы получить вероятность попадания наших двух ребят в одну из 4-х групп (классическое определение вероятностей — благоприятные на общие). 6:120 = 0,05.
5. Так как мы наши вероятность попадания ТОЛЬКО в одну из 4-х групп, нам надо умножить нашу вероятность на 4 (кол-во групп). (Формула сложения вероятностей — 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,05 или 0,05*4)
6. Получаем ответ 0,2.
Метод работает безотказно, только он громоздкий.