Здравствуйте, Дорогие друзья! В этой статье рассмотрим с вами пять задач по теории вероятностей. Задачи эти несколько отличаются от других типов из единого банка заданий, и требуют более глубокого понимания теории по сравнению с задачами на использование классической формулы вероятностей. Но нужно быть готовыми ко всему. Будет полезно посмотреть статью, где речь идёт об умножении вероятностей.
Кроме того, в задаче про чайник требуется ваша помощь, подробности ниже, после решения самой задачи. Рассмотрим задачи:
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,93. Вероятность того, что окажется меньше 21 пассажиров, равна 0,5. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 21 до 29.
Задача простая, несмотря на некоторую запутанность в условии. Сразу же исходите не только из того, что дано, но и учитывайте поставленный вопрос. Иногда отдельным событием следует обозначить то, вероятность которого требуется найти.
Какие события мы можем «обозначить» глядя на условие и поставленный вопрос? Следующие:
А — «в автобусе меньше 21 пассажиров», его вероятность равна 0,5.
В — «в автобусе от 21 до 29 пассажиров», вероятность, которую необходимо найти.
Теперь найдём сумму вероятностей А и В. Их сумма — это событие:
А + В — «в автобусе меньше 30 пассажиров».
Действительно, события А и В независимые (несовместные), то есть, они не могут произойти одновременно.
Вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Тогда, используя данные, получаем:
0,93 = 0,5 + Р(В)
Таким образом, Р(В) = 0,93 – 0,5 = 0,43
Ответ: 0,43
Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 15 задач, равна 0,62. Вероятность того, что О. верно решит больше 14 задач, равна 0,7. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 15 задач.
Задача того же типа, что и предыдущая. Какие события мы можем «обозначить» глядя на условие и поставленный вопрос? Следующие:
А – «учащийся решит 15 задач», эту вероятность необходимо найти.
В – «учащийся решит больше 15 задач», равна 0,62.
Теперь найдём сумму вероятностей А и В. Их сумма — это событие:
А + В – «учащийся решит больше 14 задач».
События А и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Таким образом, используя данные получаем: 0,7 = Р(А) + 0,62
Значит, Р(А) = 0,7 – 0,62 = 0,08
Ответ: 0,08
В этой задаче есть особенность, несмотря на предельную простоту в вычислениях.
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,83. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,83. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Обозначим события:
А — «чайник прослужит больше года»
В — «чайник прослужит больше двух лет»
С — «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет»
Обратите внимание, что событие «В» включено в событие «А». Согласитесь что, если не будет события «А» не будет и «В». Графически это можно выразить так:
Таким обрзом, вероятность события «С» будет равна разности вероятностей события «А» и «В»:
Р© = Р(А)–Р(В)= 0,95–0,83 = 0,12
Ответ: 0,12
*Здесь требуется ваша помощь, на сайте (ссылка ниже) представлен другой ход решения, поэтому прошу в комментариях высказать ваше мнение. Какое решение правильно, корректно и грамотно?
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
*По представленным выше задачам можно было бы дать следующий совет: если вы видите подобную задачу (и на ЕГЭ в том числе), то поступайте просто: из большего числа данного в условии вычитайте меньшее и получите ответ. Но совет этот для тех, кто углубляться в понимание теории и никак не хочет.
Следующая задача требует немного логики и понимания того, как находить вероятность несовместных событий при одновременном их совершении (правило умножения вероятностей).
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей — 3 очка, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,45.
Вероятность выигрыша равна 0,45. Вероятность проигрыша равна 0,45. Значит вероятность ничьей будет равна 1– 0,45– 0,45= 0,1.
Команда может получить не меньше 8 очков в двух играх тремя способами: 5+3 (выиграли первую и ничья во второй), либо 3+5 (ничья в первой и выигрыш во второй), либо 5+5 (выиграли обе игры). Эти три события несовместны. Вероятность того, что они в следующий круг будет равна сумме их вероятностей.
Каждое из перечисленных событий представляет собой произведение двух независимых событий — результат в первой гре и результат во второй игре.
То есть вероятность выиграть первую игру и при этом сыграть в ничью во второй равна:
0,45·0,1 = 0,045
Вероятность сыграть в ничью первую игру и выиграть во второй равна:
0,1·0,45 = 0,045
Вероятность выиграть первую и вторую игру равна:
0,45·0,45 = 0,2025
Значит вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований будет равна
Р = 0,045 + 0,045 + 0,2025 = 0,2925.
Ответ: 0,2925
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,7; по русскому языку — 0,9; по иностранному языку — 0,8 и по обществознанию — 0,6. Найдите вероятность того, что он сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
*Сразу отметим, что:
— вероятность не сдать иностранный равна 1– 0,8 = 0,2
— вероятность не сдать обществознание равна 1– 0,6 = 0,4
Для того, чтобы поступить хоть куда-нибудь, абитуриенту нужно сдать и русский язык, и математику как минимум на 70 баллов, а помимо этого еще сдать иностранный язык или обществознание не менее, чем на 70 баллов. Обозначим события:
А — сдает математику не менее, чем на 70 баллов
В — сдает русский не менее, чем на 70 баллов
С — сдает иностранный не менее, чем на 70 баллов
D — сдает обществознание не менее, чем на 70 баллов
Вероятность того, что он сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей будет состоять из суммы вероятностей независимых событий:
Математика > 70 Русский > 70 Иностранный > 70 Обществознание > 70
*Сдаст по каждому предмету не менее, чем 70 баллов.
Математика > 70 Русский > 70 Иностранный < 70 Обществознание > 70
*Сдаст по математике, русскому, обществознанию.
Математика > 70 Русский > 70 Иностранный > 70 Обществознание < 70
*Сдаст по математике, русскому, иностранному.
Вероятности указанных событий соответственно равны:
0,7∙0,9∙0,8∙0,6
0,7∙0,9∙0,2∙0,6
0,7∙0,9∙0,8∙0,4
Таким образом, вероятность поступить хотя бы на одну из специальностей будет равна:
0,7∙0,9∙0,8∙0,6 + 0,7∙0,9∙0,2∙0,6 + 0,7∙0,9∙0,8∙0,4 =
= 0,63∙0,48 + 0,63∙0,12 + 0,63∙0,32 =
= 0,63∙(0,48 + 0,12 + 0,32) = 0,63∙0,92 = 0,5796
Ответ: 0,5796
Задача: Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.
Задача: Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Задача: Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Задача: Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6; по русскому языку — 0,8; по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что он сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
На этом закончим. В данной рубрике до ЕГЭ планирую рассмотреть ещё три «хитрых» задачи, не пропустите!
Всего доброго. Успехов Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
Папа спрашивает сына:
— Ну как твои дела в школе?
— Плохо. Учитель всё время спрашивает и спрашивает. Наверное, сам ничего не знает.
P.S: Расскажите об этой информации в социальных сетях!
Александр,все представленные задачи довольно легкие.Я все их решал не единожды и затруднений они не вызывают.В задаче про чайник разве существует другое решение,кроме вычитания меньшего от большего?
Нет не существует. Задачи простые, но мне по ним неоднократно почему-то задавали вопросы, как ученики так и учителя. Про чайник, вопрос не в вычислениях, а в грамотности и корректности рассуждений.
Спасибо за подбор задач В10. Всё понятно.
Большое спасибо за статью!Теперь все стало понятно.
Раньше я решала такие задачи так:
Чайник прослужит больше года значит 0,95 с плюсом
Чайник прослужит не больше 2х лет значит 0,83 с минусом
и складывала)
Большое спасибо за архив задач.Очень удобно.Особая благодарность от детей за подбор задач по теории вероятности. Есть успехи.
От души пожалуйста!!!
Александр, здравствуйте!
Как Вам известно, множество Ω – пространство элементарных событий , т.е. всех возможных взаимоисключающих исходов опыта. Но в данной задаче, на мой взгляд, нечёткое множество вероятностей и множество В зависит от множества А:не будет А – не будет и В. Но А не пересекается и с С – вероятностью двух лет, равной 0.С,вообще,граница А и В без пересечения с ними. Поэтому искомая вероятность представляет собой не сумму вероятностей минус пересечение, а непересекаемые части, т.е. разность множеств вероятностей А и В.
С уважением В. Сластухин .
Уважаемый Владимир Васильевич, признаюсь что с этой задачей я конкретно запутался, потому и попросил помощи. Вычисления простые и решение очевидно. А как грамотно выстроить рассуждение... На странице matematikalegko.ru/ege/za...sti-novye-2013-9 представлено решение, которое я скопировал у кого-то в интернете. Здесь в статье это мои измышления. Получается ход обеих рассуждений неверен? То есть, событие "чайник прослужит больше года" включает в себя событие "чайник прослужит более двух лет"? 😉 С уважением!!!