Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Бесплатный метод устранения головной боли!

Система тригонометрических уравнений!

   Здравствуйте, Дорогие друзья! Сегодня мы рассмотрим задание из части С. Это система из двух уравнений. Уравнения довольно своеобразны. Здесь и синус, и косинус, да ещё и корни имеются. Необходимо умение решать квадратные уравнения и неравенства, простейшие тригонометрические уравнения. В представленном задании их подробные решения не представлены, это вы уже должны уметь делать. По указанным ссылкам можете посмотреть соответствующую теорию и практические задания.

Основная трудность в подобных примерах заключается в том, что необходимо полученные решения сопоставлять с найденной областью определения, здесь легко можно допустить ошибку из-за невнимательности.

Решением системы всегда является пара(ры) чисел х и у, записывается как (х;у). Обязательно после того  как получили ответ делайте проверку. Для вас представлено три способа, нет, не способа, а три пути рассуждения, которыми можно пойти. Лично мне наиболее близок третий. Приступим:

Решите систему уравнений:

Система уравнений. Часть С!

ПЕРВЫЙ ПУТЬ!

Найдём область определения уравнения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:

Решая  неравенство 6х –  х2 + 8 ≥ 0  получим  2 ≤ х ≤ 4   (1).

Величины 2  и  4 это радианы, 1 радиан как мы знаем ≈ 57,2970

В градусах приближённо можем записать  114,5490  ≤  х  ≤ 229,1880.

Решая  неравенство 2 – y – у2 ≥ 0  получим   – 2 ≤ у ≤ 1   (2).

В градусах можем записать   – 114,5490  ≤  у  ≤ 57,2970.

Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что

Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что

Рассмотрим первое уравнение:

1. Оно равно нулю при х = 2 или при х = 4, но 4 радиана не принадлежит определения выражения (3).

*Угол в 4 радиана (229,1880)  лежит в третьей четверти, в ней значение синуса отрицательно. Поэтому

остаётся только корень  х = 2.  

Рассмотрим  второе уравнении при х = 2. 

При этом значении х выражение 2 – y – у2 должно быть равно нулю, так как

Решим  2 – y – у2 = 0, получим  y = – 2 или  y = 1.

Отметим, что при  y = – 2  корень из   cos y   не имеет решения.

*Угол в  –2 радиана (– 114,5490)  лежит в третьей четверти, а в ней значение косинуса отрицательно.

Поэтому остаётся только  y = 1.  

Таким образом,  решением системы будет пара (2;1).

2. Первое уравнение так же равно нулю при  cos y = 0, то есть при

Но учитывая найденную область определения (2),  получим:

Рассмотрим второе уравнение при этом у.

Выражение  2 – y – у2 при у = – Пи/2 не равно нулю, значит для того, чтобы оно имело решение должно выполнятся условие:

Решаем:

Учитывая найденную область определения (1) получаем, что

Таким образом, решением системы является ещё одна пара:

*Мы нашли область определения. Далее начали рассматривать первое уравнение и учитывая область определения вычислили «по кругу» все множители в системе.

 

ВТОРОЙ ПУТЬ!

Найдём область определения для выражения:

Известно, что выражение под корнем имеет неотрицательное значение.
Решая  неравенство 6х –  х2 + 8 ≥ 0,  получим  2 ≤ х ≤ 4  (2 и 4 это радианы).

Рассмотрим Случай 1:

Пусть х = 2  или  х = 4.  

Если  х = 4, то sin x < 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Учитывая то, что sin x ≠ 0, получается, что в этом случае во втором уравнении  системы  2 – y – у2 = 0.

Решая уравнение получим, что y = – 2 или  y = 1.

Анализируя полученные значения можем сказать, что х = 4  и  y = – 2 не является корнями, так как получим sin x < 0  и  cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Видно, что х = 2 и y = 1 входят область определения.

Таким образом, решением является пара (2;1).

Рассмотрим Случай 2:

Пусть теперь 2 < х < 4, тогда 6х –  х2 + 8 > 0. Исходя из этого можем сделать вывод, что в первом уравнении cos y  должен быть равен нулю.

Решаем уравнение, получим:

Во втором уравнении при нахождении области определения выражения:

Получим:

2 – y – у2 ≥ 0

– 2 ≤ у ≤ 1

Из всех решений уравнения cos y = 0 этому условию удовлетворяет только:

При данном значении у, выражение  2 – y – у2 ≠ 0. Следовательно, во втором уравнении  sin x будет равен нулю, получим:

Из всех решений этого уравнения интервалу 2 < х < 4 принадлежит только

Значит решением системы будет ущё пара:

*Область определения сразу для всех выражений в системе находить не стали, рассмотрели выражение из первого уравнения (2 случая) и далее уже  по ходу определяли соответствие найденных решений с установленной областью определения. На мой взгляд не очень удобно, как-то путано получается.

 

ТРЕТИЙ ПУТЬ!

Он схож с первым, но есть отличия. Также сначала находится область определения для  выражений. Затем отдельно решается первое и второе уравнение, далее находится решение системы.

Найдём область определения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:

Решая  неравенство 6х – х2 + 8 ≥ 0  получим  2 ≤ х ≤ 4  (1).

Величины 2  и  4 это радианы, 1 радиан как мы знаем   ≈ 57,2970

В градусах приближённо можем записать  114,5490  ≤  х  ≤ 229,1880.

Решая  неравенство 2 – y – у2 ≥ 0  получим   – 2 ≤ у ≤ 1   (2).

В градусах можем записать   – 114,5490  ≤  у  ≤ 57,2970.

Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что

Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что

Известно, что произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю (и другие при этом не теряют смысла).

Рассмотрим первое уравнение:

Значит

Решением  cos y = 0   является:

Решением  6х – х2 + 8 = 0   являются   х = 2  и  х = 4.

 

Рассмотрим второе уравнение:

Значит

Решением  sin x = 0  является:

Решением уравнения  2 – y – у2 = 0   будут   y = – 2  или  y = 1.

 

Теперь учитывая область определения проанализируем

полученные значения:

Так как   114,5490  ≤  х  ≤ 229,1880, то данному отрезку принадлежит только одно решение уравнения sin x = 0,  это  x = Пи.

Так как    – 114,5490  ≤  у  ≤ 57,2970, то данному  отрезку принадлежит только одно решение уравнения cos y = 0, это   

Рассмотрим корни  х = 2  и  х = 4.

Из того, что  sin x ≥ 0, следует, что х = 4 не будет корнем, так как

sin 4 ≤ 0.

Рассмотрим корни  y = – 2 и  y = 1.

Из того, что cos x ≥ 0, следует, что у = –2 не будет корнем, так как

cos (– 2) ≤ 0.

Далее просто необходимо перебрать все возможные решения:

То есть подставить их в систему и проверить!

Верно!

 

Неверно, значит данная пара не является решением!

 

Неверно, значит данная пара не является решением!

 

Верно!

Таким образом, решением системы будут две пары чисел:

*Здесь учитывая найденную область определения мы исключили все полученные значения, не принадлежащие ей и далее перебрали все варианты возможных пар. Далее проверили, какие из них являются решением системы.

Рекомендую сразу в самом начале решения уравнений, неравенств, их систем, если имеются корни, логарифмы, тригонометрические функции, обязательно находить область определения. Есть, конечно, такие примеры, где проще бывает сразу решить, а потом просто проверить решение, но таких относительное меньшинство.

Вот и всё. Успеха Вам!


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*