Здравствуйте, Дорогие друзья! Сегодня мы рассмотрим задание из части С. Это система из двух уравнений. Уравнения довольно своеобразны. Здесь и синус, и косинус, да ещё и корни имеются. Необходимо умение решать квадратные уравнения и неравенства, простейшие тригонометрические уравнения. В представленном задании их подробные решения не представлены, это вы уже должны уметь делать. По указанным ссылкам можете посмотреть соответствующую теорию и практические задания.
Основная трудность в подобных примерах заключается в том, что необходимо полученные решения сопоставлять с найденной областью определения, здесь легко можно допустить ошибку из-за невнимательности.
Решением системы всегда является пара(ры) чисел х и у, записывается как (х;у). Обязательно после того как получили ответ делайте проверку. Для вас представлено три способа, нет, не способа, а три пути рассуждения, которыми можно пойти. Лично мне наиболее близок третий. Приступим:
Решите систему уравнений:
ПЕРВЫЙ ПУТЬ!
Найдём область определения уравнения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:
Решая неравенство 6х – х2 + 8 ≥ 0 получим 2 ≤ х ≤ 4 (1).
Величины 2 и 4 это радианы, 1 радиан как мы знаем ≈ 57,2970
В градусах приближённо можем записать 114,5490 ≤ х ≤ 229,1880.
Решая неравенство 2 – y – у2 ≥ 0 получим – 2 ≤ у ≤ 1 (2).
В градусах можем записать – 114,5490 ≤ у ≤ 57,2970.
Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что
Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что
Рассмотрим первое уравнение:
1. Оно равно нулю при х = 2 или при х = 4, но 4 радиана не принадлежит определения выражения (3).
*Угол в 4 радиана (229,1880) лежит в третьей четверти, в ней значение синуса отрицательно. Поэтому
остаётся только корень х = 2.
Рассмотрим второе уравнении при х = 2.
При этом значении х выражение 2 – y – у2 должно быть равно нулю, так как
Решим 2 – y – у2 = 0, получим y = – 2 или y = 1.
Отметим, что при y = – 2 корень из cos y не имеет решения.
*Угол в –2 радиана (– 114,5490) лежит в третьей четверти, а в ней значение косинуса отрицательно.
Поэтому остаётся только y = 1.
Таким образом, решением системы будет пара (2;1).
2. Первое уравнение так же равно нулю при cos y = 0, то есть при
Но учитывая найденную область определения (2), получим:
Рассмотрим второе уравнение при этом у.
Выражение 2 – y – у2 при у = – Пи/2 не равно нулю, значит для того, чтобы оно имело решение должно выполнятся условие:
Решаем:
Учитывая найденную область определения (1) получаем, что
Таким образом, решением системы является ещё одна пара:
*Мы нашли область определения. Далее начали рассматривать первое уравнение и учитывая область определения вычислили «по кругу» все множители в системе.
ВТОРОЙ ПУТЬ!
Найдём область определения для выражения:
Известно, что выражение под корнем имеет неотрицательное значение.
Решая неравенство 6х – х2 + 8 ≥ 0, получим 2 ≤ х ≤ 4 (2 и 4 это радианы).
Рассмотрим Случай 1:
Пусть х = 2 или х = 4.
Если х = 4, то sin x < 0. Если х = 2, то sin x > 0.
Учитывая то, что sin x ≠ 0, получается, что в этом случае во втором уравнении системы 2 – y – у2 = 0.
Решая уравнение получим, что y = – 2 или y = 1.
Анализируя полученные значения можем сказать, что х = 4 и y = – 2 не является корнями, так как получим sin x < 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).
Видно, что х = 2 и y = 1 входят область определения.
Таким образом, решением является пара (2;1).
Рассмотрим Случай 2:
Пусть теперь 2 < х < 4, тогда 6х – х2 + 8 > 0. Исходя из этого можем сделать вывод, что в первом уравнении cos y должен быть равен нулю.
Решаем уравнение, получим:
Во втором уравнении при нахождении области определения выражения:
Получим:
2 – y – у2 ≥ 0
– 2 ≤ у ≤ 1
Из всех решений уравнения cos y = 0 этому условию удовлетворяет только:
При данном значении у, выражение 2 – y – у2 ≠ 0. Следовательно, во втором уравнении sin x будет равен нулю, получим:
Из всех решений этого уравнения интервалу 2 < х < 4 принадлежит только
Значит решением системы будет ущё пара:
*Область определения сразу для всех выражений в системе находить не стали, рассмотрели выражение из первого уравнения (2 случая) и далее уже по ходу определяли соответствие найденных решений с установленной областью определения. На мой взгляд не очень удобно, как-то путано получается.
ТРЕТИЙ ПУТЬ!
Он схож с первым, но есть отличия. Также сначала находится область определения для выражений. Затем отдельно решается первое и второе уравнение, далее находится решение системы.
Найдём область определения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:
Решая неравенство 6х – х2 + 8 ≥ 0 получим 2 ≤ х ≤ 4 (1).
Величины 2 и 4 это радианы, 1 радиан как мы знаем ≈ 57,2970
В градусах приближённо можем записать 114,5490 ≤ х ≤ 229,1880.
Решая неравенство 2 – y – у2 ≥ 0 получим – 2 ≤ у ≤ 1 (2).
В градусах можем записать – 114,5490 ≤ у ≤ 57,2970.
Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что
Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что
Известно, что произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю (и другие при этом не теряют смысла).
Рассмотрим первое уравнение:
Значит
Решением cos y = 0 является:
Решением 6х – х2 + 8 = 0 являются х = 2 и х = 4.
Рассмотрим второе уравнение:
Значит
Решением sin x = 0 является:
Решением уравнения 2 – y – у2 = 0 будут y = – 2 или y = 1.
Теперь учитывая область определения проанализируем
полученные значения:
Так как 114,5490 ≤ х ≤ 229,1880, то данному отрезку принадлежит только одно решение уравнения sin x = 0, это x = Пи.
Так как – 114,5490 ≤ у ≤ 57,2970, то данному отрезку принадлежит только одно решение уравнения cos y = 0, это
Рассмотрим корни х = 2 и х = 4.
Из того, что sin x ≥ 0, следует, что х = 4 не будет корнем, так как
sin 4 ≤ 0.
Рассмотрим корни y = – 2 и y = 1.
Из того, что cos x ≥ 0, следует, что у = –2 не будет корнем, так как
cos (– 2) ≤ 0.
Далее просто необходимо перебрать все возможные решения:
То есть подставить их в систему и проверить!
Верно!
Неверно, значит данная пара не является решением!
Неверно, значит данная пара не является решением!
Верно!
Таким образом, решением системы будут две пары чисел:
*Здесь учитывая найденную область определения мы исключили все полученные значения, не принадлежащие ей и далее перебрали все варианты возможных пар. Далее проверили, какие из них являются решением системы.
Рекомендую сразу в самом начале решения уравнений, неравенств, их систем, если имеются корни, логарифмы, тригонометрические функции, обязательно находить область определения. Есть, конечно, такие примеры, где проще бывает сразу решить, а потом просто проверить решение, но таких относительное меньшинство.
Вот и всё. Успеха Вам!
