Подготовка к ЕГЭ. Обществознание и история!
Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
ЕГЭ-погружение 29 и 30 апреля!

Система тригонометрических уравнений!

   Здравствуйте, Дорогие друзья! Сегодня мы рассмотрим задание из части С. Это система из двух уравнений. Уравнения довольно своеобразны. Здесь и синус, и косинус, да ещё и корни имеются. Необходимо умение решать квадратные уравнения и неравенства, простейшие тригонометрические уравнения. В представленном задании их подробные решения не представлены, это вы уже должны уметь делать. По указанным ссылкам можете посмотреть соответствующую теорию и практические задания.

Основная трудность в подобных примерах заключается в том, что необходимо полученные решения сопоставлять с найденной областью определения, здесь легко можно допустить ошибку из-за невнимательности.

Решением системы всегда является пара(ры) чисел х и у, записывается как (х;у). Обязательно после того  как получили ответ делайте проверку. Для вас представлено три способа, нет, не способа, а три пути рассуждения, которыми можно пойти. Лично мне наиболее близок третий. Приступим:

Решите систему уравнений:

ПЕРВЫЙ ПУТЬ!

Найдём область определения уравнения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:

Решая  неравенство 6х –  х2 + 8 ≥ 0  получим  2 ≤ х ≤ 4   (1).

Величины 2  и  4 это радианы, 1 радиан как мы знаем ≈ 57,2970

В градусах приближённо можем записать  114,5490  ≤  х  ≤ 229,1880.

Решая  неравенство 2 – y – у2 ≥ 0  получим   – 2 ≤ у ≤ 1   (2).

В градусах можем записать   – 114,5490  ≤  у  ≤ 57,2970.

Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что

Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что

Рассмотрим первое уравнение:

1. Оно равно нулю при х = 2 или при х = 4, но 4 радиана не принадлежит определения выражения (3).

*Угол в 4 радиана (229,1880)  лежит в третьей четверти, в ней значение синуса отрицательно. Поэтому

остаётся только корень  х = 2.  

Рассмотрим  второе уравнении при х = 2. 

При этом значении х выражение 2 – y – у2 должно быть равно нулю, так как

Решим  2 – y – у2 = 0, получим  y = – 2 или  y = 1.

Отметим, что при  y = – 2  корень из   cos y   не имеет решения.

*Угол в  –2 радиана (– 114,5490)  лежит в третьей четверти, а в ней значение косинуса отрицательно.

Поэтому остаётся только  y = 1.  

Таким образом,  решением системы будет пара (2;1).

2. Первое уравнение так же равно нулю при  cos y = 0, то есть при

Но учитывая найденную область определения (2),  получим:

Рассмотрим второе уравнение при этом у.

Выражение  2 – y – у2 при у = – Пи/2 не равно нулю, значит для того, чтобы оно имело решение должно выполнятся условие:

Решаем:

Учитывая найденную область определения (1) получаем, что

Таким образом, решением системы является ещё одна пара:

*Мы нашли область определения. Далее начали рассматривать первое уравнение и учитывая область определения вычислили «по кругу» все множители в системе.

ВТОРОЙ ПУТЬ!

Найдём область определения для выражения:

Известно, что выражение под корнем имеет неотрицательное значение.
Решая  неравенство 6х –  х2 + 8 ≥ 0,  получим  2 ≤ х ≤ 4  (2 и 4 это радианы).

Рассмотрим Случай 1:

Пусть х = 2  или  х = 4.  

Если  х = 4, то sin x < 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Учитывая то, что sin x ≠ 0, получается, что в этом случае во втором уравнении  системы  2 – y – у2 = 0.

Решая уравнение получим, что y = – 2 или  y = 1.

Анализируя полученные значения можем сказать, что х = 4  и  y = – 2 не является корнями, так как получим sin x < 0  и  cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Видно, что х = 2 и y = 1 входят область определения.

Таким образом, решением является пара (2;1).

Рассмотрим Случай 2:

Пусть теперь 2 < х < 4, тогда 6х –  х2 + 8 > 0. Исходя из этого можем сделать вывод, что в первом уравнении cos y  должен быть равен нулю.

Решаем уравнение, получим:

Во втором уравнении при нахождении области определения выражения:

Получим:

2 – y – у2 ≥ 0

– 2 ≤ у ≤ 1

Из всех решений уравнения cos y = 0 этому условию удовлетворяет только:

При данном значении у, выражение  2 – y – у2 ≠ 0. Следовательно, во втором уравнении  sin x будет равен нулю, получим:

Из всех решений этого уравнения интервалу 2 < х < 4 принадлежит только

Значит решением системы будет ущё пара:

*Область определения сразу для всех выражений в системе находить не стали, рассмотрели выражение из первого уравнения (2 случая) и далее уже  по ходу определяли соответствие найденных решений с установленной областью определения. На мой взгляд не очень удобно, как-то путано получается.

ТРЕТИЙ ПУТЬ!

Он схож с первым, но есть отличия. Также сначала находится область определения для  выражений. Затем отдельно решается первое и второе уравнение, далее находится решение системы.

Найдём область определения. Известно, что подкоренное выражение имеет неотрицательное значение:

Решая  неравенство 6х – х2 + 8 ≥ 0  получим  2 ≤ х ≤ 4  (1).

Величины 2  и  4 это радианы, 1 радиан как мы знаем   ≈ 57,2970

В градусах приближённо можем записать  114,5490  ≤  х  ≤ 229,1880.

Решая  неравенство 2 – y – у2 ≥ 0  получим   – 2 ≤ у ≤ 1   (2).

В градусах можем записать   – 114,5490  ≤  у  ≤ 57,2970.

Решая неравенство sin x ≥ 0 получим, что

Решая неравенство cos y ≥ 0 получим, что

Известно, что произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю (и другие при этом не теряют смысла).

Рассмотрим первое уравнение:

Значит

Решением  cos y = 0   является:

Решением  6х – х2 + 8 = 0   являются   х = 2  и  х = 4.

Рассмотрим второе уравнение:

Значит

Решением  sin x = 0  является:

Решением уравнения  2 – y – у2 = 0   будут   y = – 2  или  y = 1.

Теперь учитывая область определения проанализируем

полученные значения:

Так как   114,5490  ≤  х  ≤ 229,1880, то данному отрезку принадлежит только одно решение уравнения sin x = 0,  это  x = Пи.

Так как    – 114,5490  ≤  у  ≤ 57,2970, то данному  отрезку принадлежит только одно решение уравнения cos y = 0, это   

Рассмотрим корни  х = 2  и  х = 4.

Из того, что  sin x ≥ 0, следует, что х = 4 не будет корнем, так как

sin 4 ≤ 0.

Рассмотрим корни  y = – 2 и  y = 1.

Из того, что cos x ≥ 0, следует, что у = –2 не будет корнем, так как

cos (– 2) ≤ 0.

Далее просто необходимо перебрать все возможные решения:

То есть подставить их в систему и проверить!

Верно!

Неверно, значит данная пара не является решением!

Неверно, значит данная пара не является решением!

Верно!

Таким образом, решением системы будут две пары чисел:

*Здесь учитывая найденную область определения мы исключили все полученные значения, не принадлежащие ей и далее перебрали все варианты возможных пар. Далее проверили, какие из них являются решением системы.

Рекомендую сразу в самом начале решения уравнений, неравенств, их систем, если имеются корни, логарифмы, тригонометрические функции, обязательно находить область определения. Есть, конечно, такие примеры, где проще бывает сразу решить, а потом просто проверить решение, но таких относительное меньшинство.

Вот и всё. Успеха Вам!


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code