Подготовка к ЕГЭ по математике бесплатно!
Поздравительный ролик из фото на заказ!

Тригонометрические уравнения!

   Тригонометрические уравнения. В составе экзамена по математике в первой части имеется задание связанное с решением уравнения — это простые уравнения, которые решаются за минуты, многие типы можно решить устно.  Включают в себя: линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.

В этой статье мы рассмотрим тригонометрические уравнения. Их решение отличается и по объёму и по сложности от остальных задач этой части. Не пугайтесь, под словом «сложность», я имею ввиду их относительную сложность по сравнению с другими заданиями.  

Кроме нахождения самих корней уравнения, необходимо определить наибольший отрицательный, либо наименьший положительный корень. Вероятность того, что вам на экзамене попадёт тригонометрическое уравнение, конечно же, мала.

Их в данной части ЕГЭ менее 7%. Но это не означает, что их нужно оставить без внимания. В части С тоже необходимо решить тригонометрическое уравнение, поэтому хорошо разобраться с методикой решения и понимать теорию просто необходимо.

Понимание раздела «Тригонометрия»  в математике во многом определяет ваш успех при решении многих задач. Напоминаю, что ответом является целое число или конечная десятичная дробь. После того, как получите корни уравнения, ОБЯЗАТЕЛЬНО сделайте проверку. Много времени это не займёт, а вас избавит от ошибки.

В будущем мы также рассмотрим и другие уравнения, не пропустите! Вспомним формулы корней тригонометрических уравнений, их необходимо знать:

Знание этих значений необходимо, это «азбука», без которой  невозможно будет справиться с множеством заданий. Отлично, если память хорошая, вы легко выучили и запомнили эти значения. Что делать, если этого сделать не получается, в голове путаница, да  просто вы  именно при сдаче экзамена сбились. Обидно будет потерять бал из-за того, что вы запишите при расчётах неверное значение.

Алгоритм восстановления этих значений прост, он также приведён в теории,  полученной вами во втором письме после  подписки на рассылку. Если ещё не подписались, сделайте это! В будущем также рассмотрим, как эти значения можно определить по тригонометрической окружности. Не даром её называют «Золотое сердце тригонометрии».

Сразу поясню, во избежание путаницы, что в рассматриваемых ниже уравнениях даны определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса с  использованием угла х для соответствующих  уравнений: cosx=a, sinx=a, tgx=a, где х может быть  и выражением. В примерах ниже у нас аргумент задан именно выражением.

Итак, рассмотрим следующие задачи:

Найдите корень уравнения:

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Решением уравнения cos x = a  являются два корня:

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арккосинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от 0 до Пи, косинус которого равен a.

Значит

Выразим x:

Найдём наибольший отрицательный корень. Как это сделать? Подставим различные значения n в полученные корни, вычислим и выберем наибольший отрицательный.

Общая рекомендация для всех подобных задач: для начала берите диапазон  n  от   – 2  до 2. Если требуемое значение выявить не удалось, подставляем следующие значения x:  – 3 и 3,  – 4  и 4 и так далее.

Вычисляем:

При  n = – 2     х1= 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5      х2= 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

При  n = – 1     х1= 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5        х2= 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

При  n = 0        х1= 3∙0 – 4,5 = – 4,5            х2= 3∙0 – 5,5 = – 5,5

При  n = 1        х1= 3∙1 – 4,5 = – 1,5            х2= 3∙1 – 5,5 = – 2,5

При  n = 2        х1= 3∙2 – 4,5 =  1,5              х2= 3∙2 – 5,5 = 0,5

Получили, что наибольший отрицательный корень равен   –1,5

Ответ:  –1,5

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Решите уравнение:

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения sin x = a  являются два корня:

Либо (он объединяет оба указанные выше):

Определение: Пусть число a по модулю не превосходит единицы. Арксинусом числа a называется угол x, лежащий в пределах от   – 90о до 90о синус которого равен a.

Значит

Выразим x (умножим обе части уравнения на 4 и разделим на Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Здесь сразу видно, что при подстановке отрицательных значений n мы получим отрицательные корни. Поэтому будем подставлять n =  0,1,2 …

При  n = 0     х = (– 1)0 + 4∙0 + 3 = 4

При  n = 1     х = (– 1)1 + 4∙1 + 3 = 6

При  n = 2     х = (– 1)2 + 4∙2 + 3 = 12

Проверим при   n = –1     х = (–1)–1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Значит наименьший положительный корень равен 4.

Ответ: 4

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Решите уравнение:

В ответе напишите наименьший положительный корень.

Решением уравнения tg x = a  является корень:

Определение: Арктангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу – 90о до 90о,  тангенс которого равен a.

Значит

Выразим x (умножим обе части уравнения на 6 и разделим на  Пи):

Найдём наименьший положительный корень. Подставим значения  n = 1,2,3...    Отрицательные значения подставлять нет смысла, так как видно, что получим отрицательные корни:

Таким образом, наименьший положительный корень равен 0,25.

Ответ: 0,25

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Определение котангенса: Арккотангенсом числа a (a – любое число) называется угол x принадлежащий интервалу (0;П), котангенс которого равен a.

Здесь хочу добавить, что в уравнениях в правой части может стоять отрицательное число, то есть тригонометрическая функция от аргумента может иметь отрицательное значение. Если  в ходе решения вы не сможете определить угол, например, для

то данные формулы вам помогут:

 

Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (7)
  1. Альберт

    Александр! Объясните пожалуйста, почему наибольший отрицательный корень -1,5, когда у нас ещё были -10,5 и -11,5? Спасибо!

  2. Александр Крутицких

    -1,5 больше -10,5 и -11,5? Оно находится ближе других корней к нулю.

    • Альберт

      Благодаря Вам я перестал бояться(элементарных)тригонометрических уравнений :). Спасибо!

      • Александр Крутицких

        Это очень хорошо. А все остальные тригонометрические сводятся к элементарным. Так что, если в С1 попадёт тригонометрическое уравнение, есть шанс справиться быстро 😉

  3. Гаврила Принцип

    Спасибо большое !Отличный разбор задачи. Очень полезный сайт!!!

  4. Гаврила Принцип

    Александр , сколько времени занимает подготовка к заданиям С1-С4?

    • Александр Крутицких

      Однозначно не скажу.

      Если с с нулевого уровня начинать, то под руководством грамотного педагога (репетитора) при неутолимом желании самого ученика нужно 8-9 месяцев.

      Если уже хорошие базовые знания есть и кое-какие навыки, то на отработку навыков решения нужно 3-5 месяца плотной работы.

      Очень большое значение имеет работоспособность ученика, иногда за короткий срок при его «рвении к знаниям» можно хорошего результата добиться.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code