Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Бесплатный метод устранения головной боли!

Рациональные уравнения

   Рациональные уравнения. Здравствуйте, друзья! В этой статье разберём рациональные уравнения, решим несколько примеров. Это один из самых простых типов уравнений, которые входят в состав экзамена по математике. Но небольшие особенности в выполнении этих заданий есть.

Для  решения достаточно провести безошибочно необходимые преобразования, и уметь решать квадратное уравнение. Напомню, что мы  можем:

1. Умножать и делить левую и правую части уравнения на одно и то же число или выражение.

2. Прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать одно и то же число (выражение).

По-другому эта операция звучит так: перенос слагаемых, из левой части в правую и наоборот, при этом знак слагаемого изменяется на противоположный.

3. Можем возводить в квадрат и извлекать квадратный корень из обеих частей.

Квадратное уравнение (общий вид):

И главное! Обязательно делайте проверку после того как найдёте корни. В некоторых примерах вы получите два корня и вам будет нужно выбрать один из них. Так вот – проверку делайте для обоих корней, а затем выбирайте указанный в условии корень. Только в этом случае ошибка будет практически исключена. Решим примеры:

Найдите корень уравнения:

Отметим, что х не равен пяти (обращает знаменатель в ноль). Умножим обе части уравнения на (х – 5):

Сделаем проверку:

Ответ:  –13

Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Сразу отметим, что х ≠ 18, так как при х = – 18 знаменатель обращается в ноль, а на ноль делить нельзя. Умножим обе части на (х+18):

Решаем квадратное уравнение:

Больший из них    – 4.

Сделаем проверку (проверяем оба корня):

Ответ: – 4

Решите уравнение:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Умножим обе части на  (х2 + 7), получим:

Разложили как разность квадратов.

Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, значит

х – 2 = 0  или  х + 2 = 0

х1 = 2            х2 = – 2

Меньший из корней равен  –2.

Сделаем проверку:

Второй корень в данном случае можно не проверять.

Отмечу, что корни уравнения х2 = 4 можно было записать сразу. Но я намеренно сделал разложение, так как это будет математически более грамотно. Разумеется,  на самом ЕГЭ этого можно не делать.

Ответ: –2

Решите уравнение:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Так как результат дроби равен 1, то можем записать, что числитель равен знаменателю:

Решаем квадратное уравнение:

Больший из корней равен   5.

Сделаем проверку (проверяем оба корня):

Ответ: 5

Решите уравнение:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Умножим обе части на (7х + 11)(6х + 1), получим:

Сокращаем подобные члены, получим     – х2 – 15х – 50 = 0

Умножаем обе части на  –1:

Больший из корней  равен    – 5.

Проверка (проверяем оба корня):

Ответ: – 5

Найдите корень уравнения:

Сразу же можно воспользоваться следующим свойством: числители дробей равны, поэтому без лишних преобразований сразу можем приравнять их знаменатели:

4х + 1 = 8

4х = 7

х = 1,75

Сделаем проверку:

В данном примере можно было воспользоваться и обычными преобразованиями, умножить обе части уравнения на   8 (4х + 1).

Ответ: 1,75

26664. Найдите корень уравнения:

Посмотреть решение

26665. Найдите корень уравнения:

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Посмотреть решение

77336. Решите уравнение

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Посмотреть решение

77367. Решите уравнение

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Посмотреть решение

77372. Решите уравнение

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Посмотреть решение

77383. Найдите корень уравнения:

Посмотреть решение

Ещё раз повторюсь, как важна проверка. Пока писал этот пост, нашёл две ошибки в примерах, размещённых на сайте. Ошибаюсь редко, но вот пожалуйста, проверку не сделал, был уверен, что решено правильно.

Будем рассматривать в дальнейшем и другие уравнения, не пропустите! На этом закончим. Надеюсь, что проблем у вас с данными уравнениями не будет. Вам удачи!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (2)
  1. Игорь.

    Я извиняюсь, но в последнем уравнении 4x=7, следовательно x=1.75

    • Александр Крутицких

      Игорь, не нужно извинений. Спасибо, что пишите об ошибках. Исправлю!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*