Здравствуете, Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём пример, где требуется решить тригонометрическое уравнение и указать корни принадлежащие заданному отрезку. Способов определения корней, которые принадлежат отрезку как минимум два. Один из них изложен в представленной задаче. Он хорош!
Но иногда, в конкретных типах задач, удобнее использовать другой способ. Он будет описан в одной из будущих статей, не пропустите!
Отметим, что для решения «сложных» тригонометрических уравнений, входящих в часть С, необходимо:
— в совершенстве владеть методикой решения простейших тригонометрических уравнений
— знать табличные значения тригонометрических функций углов от 0 до 90 градусов
— знать формулы приведения
— уметь проводить преобразования, используя тригонометрические формулы
Разумеется, нужна хорошая практика.
Дано уравнение:
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку
Решение:
а) Для преобразования используем формулу приведения для косинуса и формулу синуса двойного угла:
Тогда cos x = 0 или sin x = 0,5
Решим cos x = 0. Формулы для нахождения корней уравнения вида cos x = a:
Обе формулы можем объединить в одну:
Получим:
Можно записать в виде:
Решим sin x = 0,5. Запишем формулы для нахождения корней уравнения вида sin x = a.
Решением являются два корня (k — целое число):
Получим:
б) Найдём корни уравнения, принадлежащие отрезку.
Суть применяемого способа заключается в следующем:
1. Берём поочерёдно каждый корень уравнеия.
2. Составляем двойное неравенство.
3. Решаем это неравенство.
4. Находим коэффициент k.
5. Подставляем найденный коэффициент(ты) обратно в выбранный корень и вычисляем.
Так для каждого найденного нами корня. Итак, первый корень:
Решаем неравенство:
Так число k целое, то k1 = 2 k2 = 3
Находим корни, принадлежащие интервалу:
Следующий корень:
Решаем неравенство:
Для полученного неравенства целого числа k не существует.
Следующий корень:
Решаем неравенство:
Так как число k целое, то k = 1.
Находим корень принадлежащий интервалу:
Получили три корня (выделены жёлтым):
*Обратите внимание, что использовали знак нестрого неравенства, так как границы интервала включены (входят) в интервал.
Ответ:
Успехов вам!
Здравствуйте! У не подскажите, как находить корни уравнения этим вашим замечательным способом, если один из ответов первой части задания — arccos (-1/3),например
А подскажу )) Этот угол не сложно построить. После построения нетрудно определить в каких пределах он лежит. Например, указанный вами угол находится между углами 2Пи/3 и Пи/2. Этого вполне достаточно, чтобы понять принадлежит он указанному отрезку или нет (с учётом периода это также несложно определить).
Это касается любого угла — выражен ли он арктангенсом, арккотангенсом, арксинусом...
Информация по данному вопросу запланирована на публикацию, но сначала нужно показать в отдельной статье как строить строить такие углы на тригонометрической окружности.