Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Формулы приведения! Как запомнить!

Формулы приведения! Они относятся к разделу «тригонометрия» в математике. Суть их заключается в приведении тригонометрических функций углов к более «простому» виду. О важности их знания  написать можно много. Этих формул аж 32 штуки!

Не пугайтесь, учить их не надо, как и многие другие формулы  в курсе математики. Лишней информацией голову забивать не нужно, необходимо  запоминать «ключики» или законы, и вспомнить или вывести нужную формулу проблемой не будет. Кстати, когда я пишу в статьях «… нужно выучить!!!»  – это значит, что  действительно,  это необходимо  именно выучить.

Если вы с формулами приведения не знакомы, то простота их вывода вас приятно удивит – есть «закон», при помощи которого это легко сделать. И любую из 32 формул вы напишите за 5 секунд.

Перечислю лишь некоторые задачи, которые будут на ЕГЭ по математике, где без знания этих формул есть большая вероятность потерпеть фиаско в решении. Например: 

– задачи на решение прямоугольного треугольника, где речь идёт о внешнем угле, да и задачах на внутренние углы некоторые из этих формул тоже необходимы.

– задачи на вычисление значений тригонометрических выражений; преобразования числовых тригонометрических выражений; преобразования буквенных тригонометрических выражений.

–  задачи на касательную и геометрический смысл касательной, требуется формула приведения для тангенса, а также другие задачи.

– стереометрические задачи, по ходу решения не редко требуется определить синус или косинус угла, который лежит в пределах от 90 до 180 градусов.

И это лишь те моменты, которые касаются ЕГЭ. А в самом курсе алгебры есть множество задач, при решении которых, без знания формул приведения просто не обойтись.

Так что же к чему приводится и как оговоренные формулы упрощают для нас решение задач?

Например, вам нужно определить синус, косинус, тангенс или котангенс любого угла от  0 до 450 градусов:

Формулы приведения:

угол альфа лежит пределах от 0 до 90 градусов

* * *

Итак, необходимо уяснить «закон», который здесь работает:

1. Определите знак функции в соответствующей четверти.

Напомню их:

2. Запомните следующее: 

функция изменяется на кофункцию

 

функция на кофункцию не изменяется

Что означает понятие — функция изменяется на кофункцию?

Ответ: синус меняется на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот.

Вот и всё!

Теперь по представленному закону запишем несколько формул приведения самостоятельно:

Данный угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Функцию на кофункцию не меняем, так как у нас 180 градусов, значит:

Угол лежит в третьей четверти, косинус в третьей четверти отрицателен. Меняем функцию на кофункцию, так как у нас 270 градусов, значит:

Угол лежит в первой четверти, синус в первой четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 360 градусов, значит:

Вот вам ещё дополнительное подтверждение того, что синусы смежных углов равны:

Угол лежит во второй  четверти, синус во второй  четверти положителен. Не меняем функцию на кофункцию, так как у нас 180 градусов,  значит:

Проработайте мысленно или письменно каждую формулу, и вы убедитесь, что ничего сложного нет.

***

В статье на решение прямоугольного треугольника был отмечен такой факт  –  синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём.

И наоборот – косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого острого угла в нём. Вот вам и подтверждение этого с помощью формул приведения:

Конечно, определить  значения углов можно и без формул приведения, по тригонометрической окружности. И если вы умеете это делать, то очень хорошо. Но поняв, как работают формулы приведения, вы сможете делать это очень быстро.

 Данные формулы  можно также выразить в табличной форме:

В дальнейшем, применяя свойство периодичности, четности (нечётности) вы без труда определите значение любого угла: 10500, -7500, 23700 и любые другие. Статья об этом в будущем обязательно будет, не пропустите!

Когда в решениях задач буду использовать формулы приведения, то обязательно буду ссылаться на эту статью, чтобы вы всегда смогли освежить в памяти представленную выше теорию. На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.

Получить материал статьи в формате PDF

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (30)
  1. Анна

    Спасибо.

  2. Абитуриентка

    Спасибо огромное за Ваш труд! Замечательный сайт! Очень много полезной, нужной информации!!!

    • Александр Крутицких

      Пожалуйста! 😉

  3. Жадыра

    Спасибо, я бы хотела узнать о прикладных сторонах формул приведения. В жизне как используется?

    • Александр Крутицких

      При расчётах — проектировка механизмов, устройств, приборов. При расчётах, например, при раскройке мебельных листов ДСП, которые используются для изготовления мебели. Обычным людям в повседневной жизни они как бы не нужны.

  4. шахида

    Объясните пожалуйста как в первом практическом примере взялось 180°-30°?

    • Александр Крутицких

      Нам необходимо 150 представить (подвести) в той форме, чтобы было возможно применить формулы приведения. Я взял 180-30, можно было написать 90+60, это не важно, результат всё-равно будет один. Есть вопросы, пишите...

  5. Наталья

    Cпасибо большое, наконец то доча с помощью вашего объяснения поняла тему, настолько все объяснено просто и доступно!

  6. Наташа

    Спасибо большое за статью,все понятно,теперь не надо учить формулы,

  7. Антон

    Александр Крутицких спасибо вам! Всё понятно и доходчиво написано,еще раз огромное спасибо.

  8. Темирлан

    класс!!!

  9. Андрей Духов

    Автор, вы просто молодец, я очень вам благодарен.

    Благодаря вам я наверстал упущенное!

    • Александр Крутицких

      Рад! 😉 Прилашаю

      https://matematikalegko.ru/konkursi-na-matematikalegko/onlajn-marafon-zarabotaj-na-reshenii-zadach.html

  10. Владислава

    Объясните,пожалуйста,почему в одном задании угол 180 градусов лежит во второй четверти,а в другом в третьей?

    И вообще,я не понимаю как определять четверти,хотя это легко,но я не могу понять,почему,например угол в 90 градусов лежит во второй четверти?

    • Александр Крутицких

      Владислава, посмотрите как расположены четверти

      matematikalegko.ru/formul...kix-funkcij.html

      Изучите эту статью обязательно.

      Углы 90, 180, 270, 360 являются границами четвертей. А вот угол 90-а уже лежит в четверти (в первой). Как определяется знак функции посмотрите в указанной статье.

    • Александр Крутицких

  11. Николай

    Извините , не объясните , пожалуйста , в чем моя ошибка ?

    sin (90 + a) = cosа . Данный угол лежит во второй четверти . Cos во второй четверти отрицательный . Так почему тогда в формуле нету знака минус перед cosa?

    • Александр

      Николай, здравствуйте!

      Мы рассматриваем функцию синуса угла во второй четверти. ИМЕННО синус во второй четверти положителен, потому и + перед косинусом. То есть оценивается начальная функция (от которой исходим).

      • Николай

        То есть можно говорить об универсальном правиле без запоминания формул приведения :

        Через П и 2П — функция не меняется, а знак в зависимости от четверти .

        Через П\2 и 3П\2 функция меняется на кофункцию , при этом знак остается от изначальной функции ?

        • Александр

          Почти )

          С изменением функции на кофункцию всё верно. А знак зависит только от четверти исходной функции.

          Через П\2 и 3П\2 функция меняется на кофункцию , при этом знак также в зависимости от четверти.

          Например

          ctg (3Пи/2-а)=tg a

          Так как 3Пи/2, то функция меняется на кофункцию.

          Так как котангенс в третьей четверти положителен, то знак +.

          • Николай

            Все понятно . Спасибо большое за объяснение )

  12. Лиля

    Спасибо Вам огромное! Все предельно просто и ясно изложено!

  13. Амина

    Здравствуйте!

    Как привести к наименьшему положительному аргументу:

    sin2000°,cos (-2900°),tg606°,ctg1315°,sin (-7,3π),ctg (-41/45π),tg (-17/18π),cos34/9π

    • Александр

      Здравствуйте, Амина. Двумя словами не расскажешь. Используйте понятие периода, чётности нечётности.

  14. Люба

    СПАСИБО ОГРОМНОЕ, ВСЕГО ХОРОШЕГО!!!

  15. Ильёс

    а как определять формулы приведения на тригонометрическом окружности

  16. Иоанн

    Спасибо, всё просто и ясно, думал вообще никогда не пойму, а благодаря вашему материалу разобрался за 5 минут! Порадовал тренажёр для закрепления в конце, но хотелось бы больше примеров в нём!

  17. Ангелина

    Очень полезная статья! Хотела бы уточнить к каким четвертям принадлежат углы в 90, 180, 270 и 360 градусов. Спасибо!

    • Александр

      Они являются границами четвертей. Функции синуса и косинуса этих углов легко определяются по тригонометрической окружности, а тангенса и котангенса по формулам отношения синуса и косинуса.

  18. Ирина

    спасибо, очень помогло!)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*