Решите уравнение
Найдем область определения уравнения, то есть все значения х, при которых выражение имеет смысл. Выражение под знаком корня есть число неотрицательное, кроме этого знаменатель не равен нулю, значит:
1– х2 > 0
(1–х)(1+х) > 0
Решая неравенство получаем, что –1< х <1.
Обратите внимание, что –1 и 1 это радианы.
Известно, что Пи радиан это 1800, 1 радиан ≈ 57,30, значит в градусах:
–57,30< х <57,30
Теперь найдем корни уравнения. Дробь равна нулю тогда, когда её числитель равен нулю, значит:
Воспользуемся формулами синуса и косинуса двойного аргумента:
*Обратите внимание, что мы произвели деление на cos2x, это означает, что вводится условие cos x ≠ 0. Далее НЕОБХОДИМО проверить существует ли решение при cosx = 0. Если мы этого не сделаем, то есть вероятность потери (выпадения) корней, то есть в результате мы просто можем потерять часть решения.
Если cos x = 0, то х = ±П/2 +2Пn. Сразу же заметим, что данное значение не принадлежит полученной области определения. То есть, можем смело делить на cos2x.
Произведём замену переменной и решим квадратное уравнение.
Пусть tg x = t, тогда 2t2 – t – 1 =0.
Решаем квадратное уравнение:
Получили корни: t1 = 1 и t2 = – 0,5.
Значит tg x = 1, либо tg x = – 0,5.
Решаем tg x = 1, получим
Решаем tg x = – 0,5 получим
На тригонометрической окружности отметим область определения и корни, которые ей принадлежат:
Таким образом, получаем:
*Все остальные корни, полученные с учётом периодичности, не принадлежат найденной обасти определения.
