Подготовка к ЕГЭ по математике бесплатно!
Зарабатывай с Орифлейм. Регистрация!

Внутри равнобедренного треугольника

Внутри равнобедренного треугольника с боковой стороной а и углом при вершине 1200 расположены две окружности касающиеся друг друга, радиус одной из которых вдвое больше радиуса другой. Каждая из этих окружностей касается двух сторон треугольника. Найдите радиус меньшей из этих окружностей.

Решение:

Построим треугольник и проанализируем как могут располагаться окружности. Самая первая идея – расположить их между катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника. Создаётся впечатление, что радиусы окружностей будут отличаться именно в два раза. Да, это если построить схематичный чертёж, то так может показаться.

Если же построить эскиз соблюдая данный в условии угол, то при построении визуально будет видно, что радиус малой окружности будет более половины радиуса большей окружности:

*Кстати, вариантов размещения окружностей указанным образом (когда они касаются АС и ВС) существует множество. Данный факт уже сам по себе свидетельствует о том, что одного определённого варианта решения в таком случае не существует.

Вычислим отношение радиусов. Обозначим точки:

Обозначим отрезки:

В прямоугольном треугольнике О1О2К

∠КО2О1=∠ACD=0,5∠ACB=15°. Рассмотрим его:

Можем записать:

*Данное отношение сохранится при любом расположении окружностей, когда они касаются сторон ВС и АС. Если мы будем как бы увеличивать малую окружность (ту которая справа) вдоль основания треугольника и его боковой стороны ВС «выдавливая» соседнюю, то будет очевидно, что отношение радиусов сохранится вплоть до позиции, когда окружность с центром О1 коснётся стороны АВ:

Общий случай отношения разобран здесь.

Для справки >>>

Формулы тригонометрии здесь.

Учитывая, что sin150=(√3-1)/(2√2) получаем:

Подробнее >>>

Мы установили, что:

  1. При указанном расположении окружностей отношение радиусов не будет равно 0,5.
  2. Радиус окружности с центром в точке О2 будет более половины радиуса окружности с центром в точке О2 (это важно).

Почему это важно? Посмотрите: если бы радиус малой окружности был менее половины радиуса большей, то при процессе увеличения меньшей и «выдавливании» соседней окружности к углу А наступил бы такой момент, когда отношение их радиусов было бы равным 0,5 и этот случай необходимо было бы рассмотреть (то есть было бы решение).

Теперь же остаётся только один вариант, а именно: если при увеличении окружности с центром в точке О2 окружность с центром в точке О1 будет прижиматься к вершине В, то наступит такой момент, когда отношение радиусов будет равно 0,5. Эскиз:

Выполним дополнительные построения так чтобы треугольники BLO1, O1О2N и О2MC были прямоугольными:

Обозначим  О2M=R, тогда  О1L=MN=О2N=0,5R,  O1О2=1,5R.

Рассмотрим треугольник BLO1, в нём:


Рассмотрим треугольник CMO2, в нём:

Следовательно:

По теореме Пифагора:

Радиус меньшей окружности составляет половину, то есть:

Ответ можно записать в таком виде, но можно его преобразовать — умножим числитель и знаменатель на корень из трёх:

Учитывая то, что котангенс 15 градусов равен 2+√3 (см выше) получим:

Записываем ответ.

*Данная задача из сборника Дмитрия Мальцева «Математика. ЕГЭ-2017. Профильный уровень» Глава 2. Планиметрия. Задача 8. При желании вы можете приобрести его, например, на портале my-shop.ru. Введите на сайте в строке поиска запрос «Мальцев ЕГЭ» и увидите все книги автора.

 

Ссылка на книгу для ознакомления.

А теперь к вам вопрос! Условие задачи и вопрос те же, но имеется небольшое изменение: радиус одной окружности на 25% меньше. Сколько вариантов размещения окружностей существует? Если кто-то пришлёт решение (вычислит радиус меньшей окружности), то с удовольствием его опубликую.

С уважением, Александр Крутицких


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

Все секреты здоровья позвоночника!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code