Здравствуйте! В этой публикации мы с вами рассмотрим задачу по геометрии. На её примере вы отметите для себя довольно важные моменты, которые можно упустить при решении планиметрической задачи. Например, на экзамене, построив эскиз и рассмотрев вариант решения, можно торжествуя приступить к решению следующей задачи и не обратить внимание на то, что имеются ещё варианты.
*Источник: задачи из сборника Дмитрия Мальцева «Математика. ЕГЭ-2017. Профильный уровень» Глава 2. Планиметрия. Задача 1 и 2. При желании вы можете приобрести его на портале my-shop.ru *Введите на сайте в строке поиска запрос «Мальцев ЕГЭ» и увидите все книги автора.
Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекают прямую ВС в точках M и N так, что BM:MN=2:3. Найдите длину стороны ВС этого параллелограмма, если АВ=6.
Построим эскиз:
Сразу отметим, что треугольники АВМ и MDC равнобедренные, так как:
Вывод: АВ=BN=6 и CD=MC=6.
Сказано, что BM:MN=2:3. Можем записать: 2х+3х=6 => х=6/5. Значит:
Вычислим NC:
Таким образом:
Казалось бы ответ получен и можно «успокоиться». Но вы при решении всегда задавайте себе вопросы: а есть ли ещё варианты решения? Как ещё можно произвести построение? Какие варианты возможны?
В данном случае — если просто мысленно «вытянуть» параллелограмм, то ещё один вариант решения очевиден.
Случай 2:
Так как АВ=ВМ, то можем записать: 2х=6 => х=3.
Следовательно МN=3х=9. Таким образом:
А теперь «сожмём» параллелограмм.
Случай 3:
Треугольники NCD и АВМ равнобедренные. Так как BM:MN=2:3, то можем записать:
Значит NМ=3∙3=9, CM = NM – NC = 9 – 6 = 3.
Таким образом
*Теперь внимание! Необходимо рассмотреть ещё случай, когда положение обозначений M и N изменены. Дело в том, что в условии не сказано как точки располагаются относительно друг друга. Конечно, в первом и втором случае очевидно, что по-другому их и не расположить, так как по условию у нас BM<MN. А в-третьем случае это под вопросом…
Проверим:
Так как по условию BM:MN=2:3, то можем записать:
Значит BN=x=6 и MB=2∙x=12. А этого быть не может, так как МС=6 и отрезок МВ должен быть меньше чем 6. То есть при данном расположении точек и указанных в условии данных построить такой параллелограмм невозможно.
Ответ: 8,4; 21 и 3
*Почему мы рассмотрели случай с переменой положения точек M и N? Вы это поймёте при решении следующей задачи, аналогичной этой.
В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD пересекают прямую ВС в точках M и N так, что BM:MN=1:3. Найдите длину стороны ВС этого параллелограмма, если АВ=8.
Построим эскиз:
Треугольники АВМ и MDC равнобедренные. Значит АВ=BN=8 и CD=MC=8.
Сказано, что BM:MN=1:3. Можем записать: х+3х=8 => х=2. Значит
Вычислим NC:
Таким образом:
Случай 2:
Отметим, что АВ=ВМ=CD=NC=8. Так как BM:MN=1:3, то можем записать что BM=х=8 Следовательно МN=3∙8=24. Таким образом:
Случай 3:
Треугольники NCD и АВМ равнобедренные. Так BM:MN=1:3, то мы можем записать:
Значит NМ=3∙8=24, CM = NM – NC = 24 – 8 = 16. А это невозможно, так как у нас BM>CM.
Рассмотрим случай, когда M и N расположены по другому:
Треугольники NCD и АВМ равнобедренные. Так BM:MN=1:3, то можем записать:
Значит BM=4, NМ=3∙4=12, CN = NM – CM = 12 – 8 = 4. Таким образом
Ответ: 10, 40 и 4.
Вывод:
— необходимо всегда ставить вопрос о возможности существования других вариантов решения и рассматривать все обнаруженные случаи.
— обращайте внимание на возможность иного (взаимного) расположения точек.
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях
