Площадь треугольника ABC равна 198. Биссектриса AL пересекает медиану BM в точке К. Найдите площадь четырёхугольника MCLK, если известно что BL:CL=7:4.
Строим эскиз:
Сразу увидеть ход решения задачи довольно сложно, но мы всегда можем поставить вопрос: а что можно найти используя данные в условии и известные нам свойства?
Можем определить площади некоторых треугольников, рассмотрим:
Так как АМ=МС, значит площади треугольников будут равны, то есть:
Рассмотрим треугольники ALB и ALC. В условии сказано, что BL:CL=7:4. Введём коэффициент пропорциональности «х» и запишем формулы их площадей:
Отношение площадей будет равно:
Так же нам известно, что SALB+SALC=198. Можем вычислить площади:
Далее тупик... Знание площадей треугольников нам пока ничего не даёт и вычислить площадь искомого четырёхугольника пока нет возможности. Что делать?
Обратите внимание, что нам в условии не даны никакие углы и линейные размеры (длины элементов), поэтому не стоит тратить усилия на вычисление углов и длин (сторон, медиан, биссектрис и пр). Почему?
Когда в условии даны отношения отрезков (углов) и нет ни одной конкретной величины, то скорее всего при таких данных можно построить множество вариантов фигуры. *Не для каждого ученика это возможно увидеть сразу, нужен опыт.
Поэтому в подобных случаях стремитесь использовать отношения – а именно: отношения элементов, площадей, используйте подобие треугольников если это возможно.
Здесь мы можем найти отношение сторон треугольника. Выразим площади треугольников:
Тогда
Исходя из того, что АМ=МС следует, что
Теперь внимание! Мы близки к развязке. Есть ещё одно отношение из которого мы можем установить отношение площадей двух треугольников. Выразим площади треугольников:
Их отношение равно:
Ранее мы установили, что SAKB+SAKM=99. Вычисляем:
Таким образом
Ответ: 50
Источник: задача 3 из Главы 2 сборника Дмитрия Мальцева «Математика. ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Его можно приобрести, например, на портале my-shop.ru *Введите на сайте в строке поиска запрос «Мальцев ЕГЭ» и увидите все книги автора.
С уважением, Александр Крутицких.
*Делитесь информацией в социальных сетях.
