Подготовка к ЕГЭ по математике бесплатно!
Хостинг для вашего сайта!

Площадь треугольника ABC равна

Площадь треугольника ABC равна 198. Биссектриса AL пересекает медиану BM в точке К. Найдите площадь четырёхугольника MCLK, если известно что BL:CL=7:4.

Строим эскиз:

Сразу увидеть ход решения задачи довольно сложно, но мы всегда можем поставить вопрос: а что можно найти используя данные в условии и известные нам свойства?

Можем определить площади некоторых треугольников, рассмотрим:

Так как АМ=МС, значит площади треугольников будут равны, то есть:

Рассмотрим треугольники ALB и ALC. В условии сказано, что BL:CL=7:4. Введём коэффициент пропорциональности «х» и запишем формулы их площадей:

Отношение площадей будет равно:

Так же нам известно, что SALB+SALC=198. Можем вычислить площади:

Далее тупик... Знание площадей треугольников нам пока ничего не даёт и вычислить площадь искомого четырёхугольника пока нет возможности. Что делать?

Обратите внимание, что нам в условии не даны никакие углы и линейные размеры (длины элементов), поэтому не стоит тратить усилия на вычисление углов и длин (сторон, медиан, биссектрис и пр). Почему?

Когда в условии даны отношения отрезков (углов) и нет ни одной конкретной величины, то скорее всего при таких данных можно построить множество вариантов фигуры. *Не для каждого ученика это возможно увидеть сразу, нужен опыт.

Поэтому в подобных случаях стремитесь использовать отношения – а именно: отношения элементов, площадей, используйте подобие треугольников если это возможно.

Здесь мы можем найти отношение сторон треугольника. Выразим площади треугольников:

Тогда

Исходя из того, что АМ=МС следует, что

Теперь внимание! Мы близки к развязке. Есть ещё одно отношение из которого мы можем установить отношение площадей двух треугольников. Выразим площади треугольников:

Их отношение равно:

Ранее мы установили, что SAKB+SAKM=99. Вычисляем:

Таким образом  

Ответ: 50

Источник: задача 3 из Главы 2 сборника  Дмитрия Мальцева «Математика. ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Его можно приобрести, например, на портале my-shop.ru *Введите на сайте в строке поиска запрос «Мальцев ЕГЭ» и увидите все книги автора.

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

Все секреты здоровья позвоночника!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.