Тригонометрические формулы

Тригонометрические формулы и их вывод. Мы знаем, что их много и что их нужно учить, что эту информацию очень сложно запомнить и её периодически требуется повторять. Так, верно! Ниже представлен вывод этих формул, думаю, пригодится. Если запомнить принципы вывода, то когда будет необходимо — вы всегда «вспомните» нужную формулу. В любом случае информация будет полезна — кому-то проще выучить, кому-то вывести.

Сначала сами формулы, это ещё не все, будет продолжение.

Основное тригонометрическое тождество, его запомнить нетрудно – формула «красивая»: 

Откуда взялась? Посмотрите,  здесь всё подробно описано.

Из неё следуют:

*Простые алгебраические преобразования.

Так же из неё получаем две другие необходимые формулы путём деления на квадрат синуса и квадрат косинуса:

Формулы тангенса и котангенса. Их проще выучить:

Что дальше? Разберём некоторые группы формул! Рассмотрим эскиз:

Теорема! Косинус разности двух углов равен произведению косинусов этих углов сложенному с произведением синусов:

Доказательство:

Рассмотрим единичную окружность с углами α и β, которые образованы векторами

Выразим  скалярное произведение векторов по формуле:

Следовательно

Так как векторы имеют длину равную единице, а именно:

Теперь вычислим это же скалярное произведение по формуле:

Так как

Мы получили, что

Следовательно

Что и требовалось доказать!

Косинус суммы >>

Сумму α + β представляем как разность  α–(–β) и подставляем a формулу для косинуса разности:

Так функция косинуса чётная а функция синуса нечётная

Значит

Синус суммы >>

Воспользуемся одной из формул приведения:

Теперь по формуле косинуса разности (1):

Получили

Синус разности >>

Следовательно

Получили группу формул:

Тангенс суммы >>

Используя формулу тангенса делим формулу (3) на (2):

Далее разделим числитель и знаменатель на cosα∙cosβ, получим:

Получили

Тангенс разности >>

Используя формулу тангенса делим формулу (4) на (1):

Также разделим числитель и знаменатель на cosα∙cosβ, получим:

Получили

Котангенс суммы >>

Используя формулу котангенса делим формулу (2) на (3):

Далее разделим числитель и знаменатель на sinα∙sinβ, получим:

Получили

Котангенс разности >>

Используя формулу котангенса делим формулу (1) на (4):

Далее разделим числитель и знаменатель на sinα∙sinβ, получим:

Получили

Пожалуйста, ещё группа:

Синус двойного угла >>

Используем формулу (3) — синуса суммы:

Косинус двойного угла >>

Используем формулу (2) — косинуса суммы:

Если из основного тригонометрического тождества выразим:

И подставим в (10), то получим:

Если выразим:

И подставим в (10), то получим:

Тангенс двойного угла >>

Используем формулу (5):

Котангенс двойного угла >>

Используем формулу (7):

Можем выделить группу формул:

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность.

Возьмём формулы синуса суммы и синуса разности:

Сложим их почленно, то есть правую и левую части:

Возьмём формулы косинуса суммы и косинуса разности:

Сложим их почленно, то есть правую и левую части:

Теперь из cos (α–β) вычтем  cos (α+β):

Получим:

Вот и ещё одна группа формул готова:

К этой статье будет дополнение-продолжение, разобрали ещё не всё, не пропустите! Успеха вам!

Скачать материал в формате PDF

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.