В правильный треугольник со стороной a

В этой публикации для вас очередная задача по планиметрии. Она относится к заданиям повышенной сложности (профильный уровень). Но, как вы увидите, никакой особой трудности на самом деле процесс решения не представляет. Такую задачу можно считать подарком на экзамене. Итак, приступим!

В правильный треугольник со стороной «a» вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.
а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.
б) Найдите сумму площадей всех кругов.

*Справка! Что такое геометрическая прогрессия? Это такая последовательность, когда каждый следующий её член равен предыдущему умноженному на одно и тоже число. Простой пример: 3, 6, 12, 24, 48 ….  Предыдущий член последовательности умножен на 2 и получен следующий. Число «2» называется знаменателем геометрической прогрессии.

а) Построим правильный треугольник, впишем окружность, в неё впишем треугольник и в него ещё окружность (на этом остановимся):

Давайте назовём окружности (от большей к меньшей) просто «первая» и «вторая». Отметим, что радиус первой (большей) окружности будет вдвое больше радиуса второй (в прямоугольном треугольник катет лежащий против угла 30 градусов равен половине гипотенузы).

Что получается с площадями окружностей? Имеем:

То есть площадь второй окружности в четыре раза меньше площади первой. Если далее рассматривать вписанные окружности относительно друг друга, то получим такую же связь (зависимость) их площадей  относительно друг друга, то есть площадь каждой последующей будет в 4 раза меньше площади предыдущей. Запишем подробнее:

И так далее. В общем виде получается:

*Общая формула геометрической прогрессии имеет вид:

Таким образом, мы мы получили геометрическую прогрессию. Знаменатель её равен ¼. Доказано!

б) Формула бесконечной геометрической прогрессии имеет вид:

Значит сумма площадей всех кругов будет равна:

Теперь выразим радиус первой окружности через сторону треугольника равную «а». Имеем (если сторона равна «а», то половина стороны равна 0,5а):

Таким образом, получим:

Второй подход к решению.

а) Так как радиусы соседних окружностей отличаются в два раза, то получается что коэффициент подобия равен 0,5 (окружности всегда подобны). Можем записать:

Далее для каждой следующей вписанной окружности:

И так далее. Получили, что каждый последующий член прогрессии равен произведению предыдущего и одной четвёртой. В общем виде получается:

Это есть геометрическая прогрессия.

б) Теперь вычислим сумму площадей кругов. Пусть

Известно, что в равностороннем треугольнике  радиус вписанной окружности равен трети его высоты, то есть:

Значит площадь круга будет равна:

Формула суммы n  первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

В нашем случае:

Нам необходимо найти сумму площадей всех кругов. Их будет бесконечное число. Теперь представим, что n стремится к бесконечности. Получается, что выражение стоящее в числителе (в скобках) будет стремиться к минус единице, а весь числитель будет стремиться к величине равной:

Таким образом, сумма площадей всех кругов будет равна:

Записываем ответ.

Материал разработан совместно с Евгением Масловым, репетитором по математике (учебный центр «Методист» город Челябинск).

С уважением, Александр Крутицких.

*Делитесь информацией в социальных сетях.