Площадь треугольника ABC равна 140. На стороне АС взята такая точка М, что АМ:СМ=3:2. Биссектриса AL пересекает прямую BM в точке К. Найдите площадь четырёхугольника MCLK, если известно что МК:ВК=1:3.
*Задача 4 из Главы 2 сборника Дмитрия Мальцева «Математика. ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Его можно приобрести на портале my-shop.ru. Введите на сайте в строке поиска запрос «Мальцев ЕГЭ» и увидите все книги автора.
Решение. Строим эскиз:
*Перед решением обязательно посмотрите решение задачи №3 из этого же раздела (Задача 16) сборника автора.
Выразим площади треугольников:
Так как АМ:МС=3:2, значит и площади указанных треугольников будут относиться как 3:2, то есть
Так же нам известно, что SALB+SALC=140. Можем вычислить площади:
Рассмотрим треугольники AKB и AKM. В условии сказано, что МК:ВК=1:3. Введём коэффициент пропорциональности х и запишем формулы их площадей:
Отношение площадей будет равно:
Можем вычислить сами площади. Так как:
Теперь выразим площади этих треугольников через другую формулу:
Тогда
Исходя из того, что АМ:МС=3:2 можем записать следующее – пусть АМ=3х, значит МС=2х и АВ=9х, тогда
Сумма данных треугольников равна 140, значит можем вычислить их площади:
Площадь треугольника АКМ мы уже вычислили, она равна 21. Таким образом:
Ответ: 29
