Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Задачи с логарифмами!

Продолжаем рассматривать прикладные задачи, которые входят в состав ЕГЭ по математике. Если вы не читали статью «Задачи по физике. Это не страшно!», то советую с ней ознакомиться. В этой статье речь пойдёт о задачах, где используется понятие логарифма. Повторюсь, что в решении таких задач нет сложностей. Необходимо в данную в условии формулу подставить исходные величины. В данных задачах решение их сводится к решению логарифмического уравнения, либо неравенства.

Что необходимо знать о логарифме?

1. Основное логарифмическое тождество.

Определение: Логарифмом числа  a  по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

logb a = x     bx = a  

(a > 0, b > 0, b ≠ 1)

Например:

log3 9 = 2  так как  32 = 9

Основное логарифмическое тождество:

2. Как решенается простое логарифмическое уравнение.

3. Как решается  простое логарифмическое неравенство.

Рассмотрим задачи из открытого банка задач ЕГЭ по математике:

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 5∙10-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 2∙10 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U0 = 25 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за  время,   определяемое  выражением:

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 46 с.   

Нам необходимо найти наибольшее возможное U на конденсаторе, при условии, что прошло не менее  46 секунд, то есть t ≥ 46.

Двойку представим в виде логарифма с основанием 2:

Знаки логарифмов мы можем снять, так как основания логарифмов в обеих частях равны. Знак неравенства не изменяется, так как основание логарифма больше единицы. Таким образом, далее будем неравенство:

Напряжение величина положительная, знак неравенства не меняется (при умножении частей неравенства на отрицательное число знак изменяется на противоположный):

Наибольшее возможное напряжение на конденсаторе 6,25 кВ.

Ответ: 6,25

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение 

Для обогрева помещения, температура в котором равна Тп = 200С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой  Тв = 1000С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры Т0С, при чём

где с = 4200Дж/кг∙С — теплоемкость воды

γ = 42 Вт/м∙0С— коэффициент теплообмена

α = 1,4 — постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 28 м?

В данном случае необходимо решить уравнение:

Найдём Т,  подставив  все  известные значения:

Единицу представим в виде логарифма с основанием 1:

Так как основания логарифмов равны, то равны их подлогарифмические выражения:

Вода охладится до температуры 60 градусов Цельсия.

Ответ: 60

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение 

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени υ = 4 моля воздуха объемом V1 = 15л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма V2. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:

где α = 9,15— постоянная

Т = 300К— температура воздуха.

Какой объём V2 (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10980 Дж.

В данной задаче необходимо найти V2, подставив все известные значения в формулу:

В отличие от уже решённых задач, так можно использовать определение основного логарифмического тождества:

Воздух станет занимать 7,5 литра.

Ответ: 7,5

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение 

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий υ = 6 моля  воздуха при давлении p1 = 2,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением:

α = 5,75— постоянная — постоянная

Т = 300К — температура воздуха

p1 (атм) — начальное давление 

p2 (атм) — конечное давление воздуха в колоколе.

До какого наибольшего давления p2 можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 10350 Дж? Ответ приведите в атмосферах.          

Сказано, что «совершается работа не более, чем 10350 Дж», то есть максимальная работа, которая совершается при сжатии воздуха это 10350 Дж. Наибольшее давление будет достигнуто именно при максимальной работе, поэтому подставив все известные величины в выражение,  решим уравнение и найдём  p2:

Используем понятие основного логарифмического тождества:

При заданных условиях воздух можно сжать до 5 атмосфер.

Ответ: 5

Решить самостоятельно:

Посмотреть решение 

Подведём итог:

1. Подставляем данные в условии величины в  формулу.

2. Внимательно вычисляем.

Если решаем уравнение, то используем определение основного логарифмического тождества. Либо свойство логарифма при решении уравнений (знаки логарифмов с одним основанием можно «снимать», то есть приравнивать подлогарифмические выражения).

Если решаем неравенство, то при снятии знаков логарифма обращаем внимание на его основание. Если оно принадлежит интервалу от 0 до 1, то знак неравенства меняем на противоположный. Если более единицы, то знак неравенства не изменяем.

Если вы не понимаете, когда составляется неравенство, а когда просто решается уравнение, то решайте уравнение, его решение и будет являться результатом.

На этом закончим.  Успехов вам!!! 

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*