28010. Катер должен пересечь реку шириной L =100 м и со скоростью течения u = 0,5 м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением:
α — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом α (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?
Для того, чтобы представить процесс движения построим эскиз:
Если катер отправится к пункту назначения под углом 90 градусов к берегу, то его снесёт течением, и в пункт назначения он не прибудет. Поэтому необходимо его направить под некоторым углом α к берегу навстречу течению реки. Нам необходимо определить наименьший угол α, при котором t ≤ 200.
Задача сводится к решению неравенства:
Так как 00 < α < 900 , то рассматриваем решение неравенства только для первой четверти (то есть, периодичность котангенса не учитываем). Изобразим решение неравенства графически:
Определение котангенса: котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилегающего катета к противолежащему.
Рассмотрим треугольник АОВ. Котангенс угла АОВ равен единице при 45 градусах, и будет меньше единицы тогда, когда катет АО будет меньше катета ОВ. Это будет происходить при увеличении угла АОВ от 45 до 90 градусов, значит 450 < α < 900.
Итак, плыть нужно под минимальным углом 45 градусов относительно берега (выбираем наименьший угол из интервала).
Ответ: 45
