В ходе распада радиоактивного изотопа

В этой статье мы с вами рассмотрим типовые задания, которые включены в состав экзамена по математике. При работе с ними требуются знания и навыки решения показательных уравнений и неравенств. Представленные задачи особой сложности не представляют, процесс сводится к решению простейших уравнений (неравенств). В этой рубрике нами уже были рассмотрены некоторые задачи, можете изучить статьи «Задачи с логарифмами»  и «Задачи по физике. Это не страшно!».

Вспомним свойства показателей степени:

a⁰= 1

Нулевая степень любого числа равна единице.

* * *

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный.  Например:

* * *

* * *

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней складываются.

* * *

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели степеней вычитаются.

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель.

* * *

При возведении в степень дроби,  в эту степень возводится и числитель и знаменатель.

Также нужно знать свойства необходимые при решении показательных неравенств.

Рассмотрим неравенство:

Если   0 < а < 1, то переходим к неравенству f (x) < g (x).

То есть знак неравенства меняем на противоположный.

Если  а > 1, то переходим к неравенству f (x) > g (x).

То есть, знак неравенства  не изменяем.

Рассмотрим уравнение:

То есть, если дано уравнение, где в левой и правой части имеем степень с равным основанием, то переходим к решению уравнения f (x) = g (x).

Посмотрите некоторые эквивалентности:

Рассмотрим задачи:

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон   pV^k = const, где p — давление в газе в паскалях, V — объем газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него k = 5/3) из начального состояния, в котором const = 1,2∙10⁸ Па∙м³, газ начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже 3,75∙10⁶Па. Ответ выразите в кубических метрах.

Определим максимальный объём  для  p ≥ 3,75∙10⁶Па  (выражение ― «не ниже», означает, что  давление будет равно или больше указанной величины). Выразим p из формулы  pV^k = const

Таким образом, задача сводится к решению неравенства:

Подставляем известные значения:

Объём есть величина положительная, поэтому знак неравенства не меняется:

Наибольший объём газа при заданном давлении  будет равен 8 м³.

Ответ: 8

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону m (t) = m₀2^{— t/T}, где m₀ — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m (t) = 188 мг изотопа Z, период полураспада которого Т = 3 мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 47 мг.

Формула  m (t) = m₀2^{— t/T} описывает закон изменения массы  изотопа в зависимости от времени. Нам необходимо найти время, в течение которого масса изотопа будет равна или более 47 мг. Задача сводится к решению неравенства   m₀2^{— t/T} ≥ 47. 

При умножении неравенства на отрицательное число  его знак изменяется на противоположный: t ≤ 6.

Таким образом, в течение 6 минут масса изотопа будет не менее 47 мг.

Ответ: 6

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде   pV^а = const, где p (Па) — давление в газе, V — объем газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы «a» увеличение в три раза объема газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 27 раз.

Для начала отметим, что не дано ни давление, ни объём газа. Выразим из заданной формулы давление:

Необходимо найти наименьшее a, при котором, увеличение объёма газа втрое, приводит к уменьшению давления в 27 или более раз, то есть

При наименьшем значении a равном 3 выполнится поставленное условие.

Ответ: 3

*Если вы не можете оценить, какой знак неравенства ставится, то ставьте знак равенства и решайте уравнение.

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением pV^1,4 = const, где p (атм.) — давление в газе,   V — объeм газа в литрах. Изначально объём газа равен 243,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объёма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Сразу отметим, исходя из того, что дан начальный объём газа и его давление, мы можем определить константу:

Выразим p:

Поршень выдерживает давление не более 128 атмосфер, то есть p≤128.

Объём величина положительная, знак неравенства не меняется:

Газ при заданных условиях можно сжать до 7,6 литра.

Ответ: 7,6

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Как видите, сам процесс вычисления не сложный. Затруднения могут возникнуть при определении знака неравенства. Дело в том, что у некоторых учащихся сами выражения «не менее» или «не более» (в условии задач) вызывают небольшие затруднения.

Поэтому простая рекомендация: в аналогичных задачах, с показателями степени ставьте знак равенства и решайте уравнение.

Этот совет применим не ко всем заданиям подобного типа. Примеры, где этого делать нельзя мы рассмотрим, не пропустите!

Успехов Вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.