Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Внешний угол треугольника

Внешний угол треугольника. Продолжаем рассматривать задачи на решение прямоугольного треугольника, которые присутствуют в прототипах открытого банка заданий ЕГЭ по математике. Некоторые примеры мы уже рассмотрели в статьях «Прямоугольный треугольник. Часть 1» и «Прямоугольный треугольник. Часть 2». В этой статье разберём задачи, в которых необходимо определить значения тригонометрических функций внешнего угла треугольника (или внутреннего, когда дано значение внешнего).

Стоит повторить определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике, основные тригонометрические формулы для решения прямоугольного треугольника.  Вспомним основные из них:

А также формулы приведения (не все). Отмечу одну типичную ошибку, которую допускают (из-за невнимательности).

При решении подобных задач часто используется формула основного тригонометрического тождества:

Из  неё мы получаем:

Запись с ошибкой:

То есть теряется квадрат. Будьте внимательны!

Рассмотрим задачи:

В треугольнике ABC угол C равен 900, sin A = 0,27. Найдите синус внешнего угла при вершине А.

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

По свойству синуса:

А лучше раз и навсегда запомнить сам факт того, что синусы смежных углов равны, и вам даже не будет необходимости что-то записывать при решении такой задачи, ответ вы озвучите сразу.

Ответ: 0,27

 

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

 

В треугольнике ABC угол C равен 900. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

Значит по свойству тангенса (используем формулу приведения):

То есть необходимо найти тангенс угла ВАС.  Известно, что:

Синус угла ВАС нам известен. Найдём его косинус.

Из основного тригонометрического тождества:

Вычисляем тангенс:

Таким образом  tg BAD = – tg BAC = – 0,3

Ответ: – 0,3

 

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Посмотреть решение 

В треугольнике ABC угол C равен 900, АВ = 6, .  Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

 

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

По свойству косинуса:

Найдём cos BAC   Для этого необходимо найти сторону АС. По теореме Пифагора:

Значит АС = 3.

По определению косинуса:

Таким образом, cos DAB = – cos BAC = – 0,5.   

Ответ: – 0,5

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Посмотреть решение 

В треугольнике ABC угол C равен 900, косинус внешнего угла при вершине A равен  . Найдите sin A.

Углы ВАС и BAD смежные, значит:

В данной задаче можем найти косинус угла ВАС, а затем используя основное тригонометрическое тождество синус этого угла.

По свойству косинуса (используем формулу приведения):

Значит

Найдём sin BAC.  Из основного тригонометрического тождества получим:

Ответ: 0,9

 

В треугольнике ABC угол C равен 900, тангенс внешнего угла при вершине A равен  –2/9.  Найдите tg = B.

Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что tg ABC = ctg BAC.

Найдём ctg BAC. Известно, что tg BAC ∙ ctg BAC = 1, значит

Тангенс угла ВАС найти не сложно. Углы BAC и BAD смежные. Это  значит, что

По свойству тангенса:   

Значит

Таким образом:

Ответ: 4,5

 

В треугольнике ABC угол C равен 900, косинус внешнего угла при вершине A  равен  – 0,7; АВ = 20. Найдите AC.

Найти АС мы сможем, если нам будет известен косинус угла ВАС. Так как по определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

Найдём косинус. По его свойству:

*Использовали формулу приведения.

Значит

Таким образом:

Ответ: 14

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение 

Посмотреть решение 

Посмотреть решение 

Посмотреть решение 

В треугольнике ABC АС = ВС, АВ = 12, тангенс внешнего угла при вершине A равен  . Найдите AC.

Построим  высоту CH.

Найдём  тангенс внутреннего угла.  По свойству тангенса:

Сторона АС является гипотенузой в прямоугольном треугольнике АСН. В этом треугольнике зная тангенс острого угла и один катет мы без труда можем найти второй катет.

Высота проведённая к основанию равнобедренного треугольника является медианой, то есть АН = ВН, a АВ = 2АН:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH: по определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

Следовательно:

В прямоугольном треугольнике  нам известны катеты АН и СН.

По теореме Пифагора мы можем найти гипотенузу АС:

Таким образом, АС = 9.

Ответ: 9

 

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

В будущем будем рассматривать другие задачи, не пропустите! Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (4)
  1. Татьяна

    Я не школьник и не студент. Математика осталась там... Но мне безумно нравится ваш сайт.

    • Александр Крутицких

      Татьяна, очень рад! Приятно!

  2. Альберт

    Александр, я правильно понял-если углы смежные, то знак не меняется только у синуса, а у косинуса, тангенса и котангенса меняется на противоположный в любом случае?

    Спасибо!

    • Александр Крутицких

      Правильно! 😉

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*