Подготовка к ЕГЭ по математике бесплатно!
Хостинг для вашего сайта!

В треугольнике ABC угол C равен 90

В данной статье мы с вами разберём задачи на решение прямоугольного треугольника. На первый взгляд, число прототипов заданий, представленных в едином банке задач ЕГЭ по математике, несколько пугает – их там более 300 (*на момент написания этой статьи). Но практически все эти задания решаются в два, максимум три действия. Многие вообще в одно. 

Также сюда можно отнести другие задачи, в которых прямоугольный треугольник является частью другого данного в условии треугольника, например равнобедренного. Средства для их решения совершенно одни и те же. Постараюсь акцентировать внимание на основных базовых знаниях и основных методах, которые необходимы для решения.

Кстати, в большинстве пособий по подготовке к экзамену почему-то встречаются только примеры на решение прямоугольного треугольника, как будто других задач в этом разделе и не существует — странно, конечно.

Основная теория, смотрите здесь =>>>

Основное тригонометрическое тождество — знать его вы должны обязательно и вспомнить в любое время дня и ночи. Можно сказать что это основа для решения задач на прямоугольный треугольник. Формула «красивая» запоминается легко:

Из неё следуют следующие ...

Синус в квадрате и косинус в квадрате:

*Их запоминать не нужно, всегда сможете вывести путём простейших преобразований, которые используете в уравнениях.

**Когда речь идёт об использовании этой формулы для решения прямоугольного треугольника, то перед корнем ставиться знак «+», так как углы в этом треугольнике острые, а мы знаем, что синус и косинус острого угла имеет положитльный знак.

Так же из неё получаем две другие необходимые формулы путём деления на квадрат синуса и квадрат косинуса:

Учить эти формулы не нужно, вы всегда их сможете вывести. Признаюсь сам я до сих пор их не выучил, когда нужны, вывожу их, правда устно.

Что ещё? Формулы тангенса и котангенса (выучить не сложно, выводить их будет длительнее, чем вспоминать, они просты):

 Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса в прямоугольном треугольнике.

Гипотенуза прямоугольного треугольника  — это сторона, лежащая напротив прямого угла. Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет а, лежащий напротив угла альфа, называется противолежащим (по отношению к углу альфа). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла а, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — отношение противолежащего катета к прилежащему:

Другое (равносильное) определение – тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

Без знания представленных определений задачи не решить. Нужно выучить!!! Проработайте определения многократно. Основная проблема в том, что учащиеся спустя время всё-таки  путают в определениях синуса и косинуса то ли прилежащий катет относится к гипотенузе, то ли противолежащий; в определениях тангенса и котангенса то ли прилежащий катет относится к противолежащему, то ли наоборот.

По этому поводу обязательно будет статья, как быстро вспомнить эти отношения без ошибки. Постараюсь не затягивать!  Вобще, темы для статей у меня в голове прибывают в геометрической прогрессии. Хочется Вам столько всего выдать, но времени маловато.

Ещё факт, который советую запомнить: синус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен косинусу другого острого угла в нём. И наоборот: косинус одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен синусу другого.

Итого: основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые пригодятся  при решении задач:

 Вывод: зная любые две стороны, мы можем найти третью сторону треугольника. Мой вам совет  каким бы не стоял вопрос, но если в задаче на прямоугольный треугольник даны две стороны, сразу же находите третью, пригодится однозначно. Зная все три стороны, вы без труда найдёте значение любой тригонометрической функции (и любой угол).

В треугольнике АВС угол С равен 900. Найдите tg A.

Если в условии нет данных о сторонах и углах, а есть только тригонометрические функции, то пользуйтесь формулами:

Сразу видно, что можно использовать формулу:

Остаётся из основного тригонометрического тождества sin2A + cos2A = 1 найти cosA:  

Таким образом:

Ответ: 0,25

Дан прямоугольный треугольник АВС, угол C равен 900. Найдите tg В.

Здесь необходимо найти тангенс другого острого угла. Как быть?

Воспользуемся формулой тангенса:

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла, и наоборот, то есть:

Найдём sin B.

Из основного тригонометрического тождества sin2A + cos2A = 1 найдём cos A:

Значит

Таким образом:

Ответ: 0,25

Дан прямоугольный треугольник АВС, угол C равен 900, tg A = 7/24. Найдите sin A.

Используем формулу:

Из неё мы без труда найдём cos2A, а далее используя формулу основного тригонометрического тождества sin2A + cos2A = 1, сможем определить синус:

Вычислим sin A:

Ответ: 0,28

*Обратите внимание, что мы вычислили не косинус, а квадрат косинуса, так как далее для вычислений нам нужен именно квадрат.

Дан прямоугольный треугольник АВС, C равен 900, АВ = 8, sin A = 0,5. Найдите BC.

Здесь нам дана сторона (гипотенуза) и синус угла.

Задача в одно действие, используется определение синуса:

Ответ: 4

Дан прямоугольный треугольник АВС, C равен 900, АВ = 7,  tg = . Найдите ВC.

В данной задаче через функцию тангенса мы можем выразить только катеты, но они нам неизвестны. Поэтому выразим её через функцию косинуса. Далее по определению косинуса, мы сможем найти АС, а затем по теореме Пифагора найдём ВС. Итак:

Следовательно:

По определению косинуса cos A = AC/АВ, значит можем найти АС:

Далее по теореме Пифагора вычислим ВС: 

Таким образом,  ВС = 4.  

Ответ: 4

Дан прямоугольный треугольник АВС, угол C равен 900, АС = 24, ВС = 7.  Найдите sin A.

Мы уже говорили, что если в задаче известны две стороны, то лучше сразу найти третью сторону по теореме Пифагора. Зная все три стороны в прямоугольном треугольнике,  мы всегда без труда найдём значение любой тригонометрической  функции любого угла. 

По теореме Пифагора:

По определению синуса:

Ответ: 0,28

Дан прямоугольный треугольник АВС, угол C равен  900,  sin A = 11/14. Найдите AB.

По определению косинуса  cos A = АС/АВ, значит:

Сторона АС нам известна, найдём cos A.

Из основного тригонометрического тождества:

Таким образом:

Ответ: 28

Если вы найдёте более рациональные пути решения подобных задач, это будет замечательно, я лишь преследовал цель показать вам основные приёмы и необходимые формулы. Способов решения каждой подобной задачи на самом деле, не менее трёх.

Решите самостоятельно:

Посмотреть решения: 27217, 27219, 27220, 27226, 27228, 27231, 27232, 27236, 27240, 27243, 27251, 27246, 27255.

В будущем мы так же будем разбирать и другие задачи на решение прямоугольного треугольника отличные от предоставленных, но теории уже касаться не буду. Надеюсь, материал был вам полезен.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

Все секреты здоровья позвоночника!

Отзывов (12)
  1. Ольга

    Полезно! Спасибо!!!

    • Александр Крутицких

      Ольга, пожалуйста , пользуйтесь на здоровье!!!

  2. Наталья

    Спасибо, обязательно ученикам расскажу.

    • Александр Крутицких

      Наталья, пожалуйста!

  3. Галина

    Спасибо за материалы. Очень удачно скомплектованы, удобны в использовании.Моим ученикам тоже нравятся Ваши труды.

  4. Виктор

    Александр,как в последней задаче из 75 мы получили 5 корень из 3?

    • Александр Крутицких

      75 это 25 умножить на 3. Корень из 25 равен пяти, корень из трёх остаётся. Используется свойство корней вторая строчка

      matematikalegko.ru/shkoln.../korni-i-stepeni

  5. София

    Александр, помогите пожалуйсто, никак не удаётся решить задачу... В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=30, сosА=5\13. Найдите высоту СН

    • Александр Крутицких

      Треугольник равнобедренный, АВ это основание, строим СН (соединяем вершину С с серединой основания АВ). Из треугольника АСН зная cosА и АН (30/2=15) можем найти АС. А далее по теореме Пифагора находим катет СН из треугольника АСН.

  6. Анастасия

    Здравствйте!В пятой задаче условия не совпадают с решением,Условие: В треугольнике ABC угол C равен 900, АВ = 7, tg = 4 корней из 17/корень из 17 . Найдите ВC.

    А в решении tg = 4 корней из 33/корень из 33

    • Александр

      Анастасия, спасибо. ваши поправки ценны! В условии ошибка,исправлено ))

  7. Диана

    Помогите решить.

    В треугольнике АВС sinA=трем пятым.найти ас.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*

code

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.