На рисунке угол 1 равен

Продолжаем рассматривать задачи по планиметрии. В прошлой статье было представлено несколько задач на вычисление углов треугольника, здесь изложено ещё четыре задания. При решении используется свойство углов четырёхугольника, оно было описано в этой статье. Также используется признак равенства треугольников и свойство биссектрисы. Рассмотрим задачи:

В треугольнике ABC угол A равен 20⁰, угол В равен 80⁰, CD  — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана такая точка E, что CE=CB. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Из данного условия понятно, что сразу мы можем найти угол С.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме о сумме углов треугольника:

Рассмотрим четырёхугольник BCED.

Известно, что сумма углов четырёхугольника равна 360 градусам. Будем рассматривать четырёхугольник BDEC, так как нас интересует угол BDE.

В нём мы можем найти углы DBC и BСE.

Угол DBC является смежным с данным углом  В.

Угол BCЕ является смежным с полученным углом С.

Кроме того, треугольники DBC и DEС равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу меду ними). Значит можем записать:

Таким образом, можем найти искомый угол используя свойство углов четырёхугольника:

Ответ: 60

В треугольнике ABC угол A равен 62⁰, угол B равен 66⁰. AD, BE и CF  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Исходя из условия понятно, что сразу мы можем найти угол С. Искомый угол мы можем найти зная в треугольнике AOF два угла.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме о сумме углов треугольника:

Рассмотрим треугольник ACF:

Угол ACF равен половине угла C, так как CF биссектриса, то есть

Значит

Рассмотрим треугольник AOF:

Угол AFO мы вычислили, угол FAO равен половине угла А, то есть  31⁰.

Таким образом, зная два угла можем найти искомый угол:

Ответ: 76

В треугольнике ABC угол A равен 36⁰, угол B равен 75⁰. AD, BE и CF  — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим прямоугольные треугольники  ABD и AFO, они являются подобными.

Угол OАF у  них общий, значит:

Второй путь:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD.

По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна  90⁰, то есть:

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOF:

Значит

Ответ: 75

На рисунке угол 1 равен 16⁰, угол 2 равен 10⁰, угол 3 равен 72⁰.

Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Обозначим числами остальные углы:

Угол 4 мы можем найти используя свойство углов четырёхугольника. Известно, что их сумма равна 360 градусам.

Рассмотрим треугольник с углами 1, 2, 6:

Рассмотрим треугольник с углами 1, 3, 5:

Рассмотрим четырёхугольник с углами 1, 4, 5, 6. Сумма всех углов выпуклого четырёхугольника равна 360⁰:

Ответ: 108

27777. В треугольнике АВС угол А равен 30º, угол В равен 86º, CD — биссектриса внешнего угла при вершине C, причем точка D лежит на прямой АВ. На продолжении стороны АС за точку С выбрана такая точка Е, что СЕ=СВ. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27778. В треугольнике АВС угол А равен 60º, угол В равен 82º. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27779. В треугольнике ABC угол A равен 60⁰, угол B равен 82⁰. AD, BE и CF  — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27780. На рисунке угол 1 равен 46⁰, угол 2 равен 30⁰, угол 3 равен 44⁰. Найдите угол 4. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Ну а сейчас примите море позитива. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.