Решение прямоугольного треугольника

Решение прямоугольного треугольника. Продолжаем рассматривать задачи входящие в состав экзамена по математике. В этой статье разберём с вами несколько типов примеров. Они будут немного сложнее тех, которые мы с вами рассмотрели в статье «Прямоугольный треугольник. Часть 1». Но сложность эта относительна. Если вы эту статью не изучили, то сделайте это. На самом деле  используются те же самые формулы. Вспомним их:

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, AB = 20, sin A = 0,6.

Найдите высоту CH.

Сразу отметим, что все три треугольника ABC, ACH, CBH являются прямоугольными. Все элементы в данных треугольниках находятся так же с использованием основного тригонометрического тождества, формул из него следующих; определений синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Кроме того могут использоваться признаки являются подобия.

Все прямоугольные треугольники, которые вы видите на рисунке подобны. Суть решения таких задач заключается в том, что один элемент можно рассматривать в разных треугольниках,  на этом, и построено решение. Задачу можно решить в два-три действия, а можно в четыре-пять. Если вы сразу не увидели рациональный путь сразу – это не страшно.

Важно, чтобы вы понимали процесс решения и владели формулами.

Рассмотрим в данной задаче треугольник ACH:

Синус угла А нам известен, найдём АС. Сторону АС можем найти из треугольника АВС:

Найдём для начала cosA. Из основного тригонометрического тождества

sin² + cos² =1 получаем, что

Таким образом, AC=AB∙cosA=20∙0,8=16

Значит  CH = AC∙sinA = 16∙0,6 = 9,6

Ответ: 9,6

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, CH – высота, АВ = 123, tgA=1/9.  Найдите  АН.

Видно, что AH мы можем найти из треугольника AHC. То есть, процесс решения мы должны свести к тому, чтобы найти какие-либо элементы в этом треугольнике. Так как нам известен  tgA=1/9,  то мы можем найти cosA. Он нам пригодится для нахождения AC в треугольнике ABC  и для нахождения AH  в треугольнике AHC. Итак, найдём cosA.

Из основного тригонометрического тождества  sin²+cos² =1  путём деления левой и правой частей на cos²A получим:

Теперь рассмотрим треугольник ABC:

Теперь рассмотрим треугольник AHC. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: cosA = AH/AC,

Ответ: 121,5

Если вы сразу не видите, как решить подобную задачу, то поступайте следующим образом. Действуйте по принципу «ищу то, что могу». То есть исходя из условия смотрите – что вы можете найти, и вычисляйте элементы. Так шаг за шагом вы обязательно найдёте искомый элемент. И ещё обратите снимание на преобразования. Не обязательно вычислять промежуточные результаты (например cosA в данной задаче), можно оставлять полученное выражение. В дальнейшем  будет удобно сокращать.

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

В треугольнике ABC  AC=BC=25,  sin A = 3/5.  Найдите AB.

Для начала найдём cosA. Из основного тригонометрического тождества sin²+cos²=1 получаем,

Теперь проведём высоту CH  и рассмотрим прямоугольный треугольник ACH:

По определению косинуса:

 cosA = AH/AC, откуда AH = AC∙cosA = 25∙0,8=20.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC. Высота CH, проведённая к основанию, по свойству равнобедренного треугольника является медианой.

То есть AH = BH, и значит AB = 2∙AH = 2∙20 = 40.

Ответ: 40

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

В треугольнике ABC  AC = BC,  AH  — высота, tg ABC = 5/4. Найдите tg BAH.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC. По свойству равнобедренного треугольника:

угол ABC равен углу BAC, значит tg ABC = tg BAC = 5/4.

Найдём ctg ABC. Известно, что tg ABC ∙ ctg ABC = 1, значит

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Из свойств прямоугольного треугольника:  

tg BAH =  ctg ABH = ctg ABC =0,8 

Ответ: 0,8

В этой задаче не дан ни один линейный размер, поэтому пользуйтесь только тригонометрическими формулами (для нахождения углов).

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Как видите, ничего особо сложного нет. Необходимо уметь оперировать формулами синуса, косинуса, тангенса и котангенса, знать основное тригонометрическое тождество, и всё! Задачу вы решите всегда.

Как уже говорил — если вы сразу не видите путь  решения, то находите постепенно элемент за элементом исходя из того, что дано. Тогда искомый угол или сторону вы найдёте обязательно. Далее продолжим рассмотрение задач, не пропустите!

Сейчас предлагаю отдохнуть от математики, красивая музыка, красивая осень.

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.