Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

На рисунке изображён график некоторой функции

    Здравствуйте, друзья! В данной статье рассмотрим с вами задания на первообразную. Эти задания входят в ЕГЭ по математике. Несмотря на то, что сами разделы — дифференцирование и интегрирование довольно ёмки в курсе алгебры и требуют ответственного подхода к пониманию, но сами задачи, которые входят в открытый банк заданий по математике и будут на ЕГЭ чрезвычайно просты и решаются в одно-два действия.

Важно понять именно суть первообразной и в частности геометрический смысл интеграла. Рассмотрим кратко теоретические основы.

Геометрический смысл интеграла

Кратко об интеграле можно сказать так: интеграл – это  площадь.

Определение: Пусть на координатной плоскости дан график положительной функции f, заданной на отрезке [a;b]. Подграфиком (или криволинейной трапецией) называется фигура, ограниченная графиком функции f, прямыми х = а и х= b и осью абсцисс. 

Определение: Пусть дана положительная функция f, определённая на конечном отрезке [a;b]. Интегралом от функции f на отрезке [a;b] называется площадь её подграфика.

Обозначение интеграла. Традиционно интеграл от функции у = f (x) обозначается так:

Первообразная

Интегрирование является операцией обратной дифференцированию. Вычисление интеграла сводится к нахождению функции, производная которой равна заданной функции.

Определение:  функцию F (x) называют первообразной для функции  f (х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство

F′(x) = f (x)

Можно прочесть двумя способами:

f производная функции F

или

F первообразная для функции f

Для обозначения первообразной используют знак неопределённого интеграла, то есть интеграла без указания пределов интегрирования:

Теорема (Ньютона–Лейбница): Пусть f (х) данная функция, F её произвольная первообразная. Тогда

То есть, интеграл функции f (x) на интервале [a;b] равен разности первообразных в точках b и a. 

Это краткое изложение теоретических основ. Есть ещё свойства интеграла, понятие интегральных сумм и прочее. Полное понимание темы требует глубокого проникновения в неё. Но то, что потребуется при решении простых задач представлено выше.

Рекомендую повторить свойства производной для исследования графиков функции, их понимание также необходимо при решении  некоторых задач на первообразную.

Рассмотрим задачи:

 

На рисунке изображён график функции y = F (x) — одной из первообразных некоторой функции f (x), определённой  на  интервале (–3;5). Пользуясь  рисунком,  определите  количество  решений  уравнения  f (x) = 0 на отрезке [–2;4].

Как уже сказано F′(x) = f (x). Какой можем сделать вывод?

Он простой. Нам нужно определить сколько имеется точек  на данном графике, в которых F′(x) = 0. Мы знаем, что производная равна нулю в  тех точках, где касательная к графику функции параллельна оси ох. Покажем эти точки на интервале [–2;4]:

Это точки экстремума данной функции F (x). Их  десять.

Ответ: 10

323078. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F (8) – F (2), где F (x)  —  одна из первообразных функции f (x).

Ещё раз запишем теорему Ньютона–Лейбница: Пусть f данная функция, F её произвольная первообразная. Тогда

То есть, нам необходимо найти:

А это, как уже сказано, есть площадь подграфика функции.

Таким образом, задача сводится к нахождению площади трапеции (интервал от 2 до 8):

Её не сложно вычислить по клеткам. Получаем 7. Знак положительный, так как фигура расположена выше оси ох (или в положительной полуплоскости оси оу). 

Ещё в данном случае можно было сказать так: разность значений первообразных в точках есть площадь фигуры.

Ответ: 7

323079. На  рисунке  изображён график некоторой  функции y = f (x). Функция F (x) = x3+30x2+302x–1,875  — одна из первообразных функции y= f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Как уже сказано о геометрическом смысле интеграла это есть площадь фигуры ограниченной графиком функции f (x), прямыми х = а и х = b и осью ox.

Теорема (Ньютона–Лейбница):

Таким образом, задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –11 до –9, или другими словами нам необходимо найти разность значений первообразных вычисленных в  указанных точках:

Ответ: 6

323080. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x).  

Функция F (x) = –x3–27x2–240x– 8 — одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Теорема (Ньютона–Лейбница):

Задача сводится к вычислению определённого интеграла данной функции на интервале от –10 до –8:

Ответ: 4

Ещё одно решение данной задачи, с сайта РЕШУ ЕГЭ.

Найдем формулу, задающую функцию f (x) график которой изображён на рисунке. 

Следовательно, график функции f (x) получен сдвигом графика функции у = 3 – 3х2  на 9 единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции у=32 и отрезком [–1;1] оси абсцисс. Имеем: 

Конечно, этот способ требует: основательно знания правил дифференцирования, свойств интеграла, таблицы производных, таблицы интегралов, умения выделять неполный квадрат; владения приёмами преобразований графиков и, конечно, должна быть  хорошая практика.

Ответ: 4

Таблицы производных и интегралов вы можете посмотреть.

Производные и правила дифференцирования ещё есть в этой статье. Знать их нужно обязательно, не только для решения таких заданий.

В этой рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!  

Также можете посмотреть справочную информацию на сайте здесь и здесь.

Посмотрите небольшой ролик, это отрывок из фильма «Невидимая сторона». Можно сказать, что это фильм об учёбе, о милосердии, о важности якобы «случайных» встреч в нашей жизни... Но этих слов будет  недостаточно, рекомендую посмотреть сам фильм, очень рекомендую.

Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*