Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Геометрический смысл производной. Часть 1!

  Геометрический смысл производной. Здравствуйте, друзья! Ближайшие четыре месяца решил задачи связанные с производной не рассматривать и не разбирать, хотел оставить на будущее. Дело в том, что провёл в интернете небольшое исследование, по разным форумам побродил, и выяснил, что в Части В эти задачи у выпускников вызывают некоторые затруднения. Почему? Большинство же из них, на самом деле, очень просты.

Больше время на подобный сбор информации тратить не бстану, а буду писать о том, что считаю нужным и постараюсь наиболее понятно подавать вам материал.

В этой статье разберём задачи, в которых требуется найти производную при заданном графике функции  и касательной к графику в определённой точке *При чём в этих задачах явно отмечены как минимум две точки, через которые эта касательная проходит. Что нужно знать для решения таких задач?

Геометрический смысл производной

Построим произвольный график некой функции y = f (x)  на координатной плоскости, построим касательную в точке xо, обозначим угол между прямой о осью ox как α (альфа)

Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:

То есть производная функции  y = f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной:

А угловой  коэффициент в свою очередь равен тангенсу  угла α (альфа), то есть:

Угол α (альфа) может быть меньше, больше 90 градусов или равен нулю. 

Проиллюстрируем, два случая:

1.    Угол наклона касательной больше 90 градусов (тупой угол).

2.    Угол наклона касательной равен нулю градусов (касательная параллельна оси ох).

 

То есть задачи, в которых дан график функции, касательная к этому графику в определённой точке, и требуется найти производную в точке касания, сводятся к нахождению углового коэффициента касательной (либо тангенса угла наклона касательной, что одно и тоже).

Ниже рассмотрим  решение таких задач через нахождение тангенса угла между касательной и осью абсцисс (осью ох), ещё один способ решения (нахождение производной через угловой коэффициент) рассмотрим в недалёком будущем. Также будем рассматривать задачи, где требуется знание свойств производной для чтения графика функции. Не пропустите! 

Обратите внимание, что на координатной плоскости обозначены две точки через которые проходит касательная – это очень важный момент (можно сказать ключевой в этих задачах). 

Что ещё потребуется — это знание формулы приведения для тангенса тупого угла.

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x0.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Для того, чтобы найти тангенс этого угла, построим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой, а катеты параллельны осям.  В данной задаче это точки  (–5; –4), (1; 5).

Напомню: тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Катеты определяем по числу клеток.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC, так как катет АС параллелен оси ох. Значит

Ответ: 1,5

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x0.

Задача аналогична предыдущей. Так же строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки  (–5; –7), (3; 3).

Катеты также определяем по числу клеток.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу ВАС, так как катет АС параллелен оси ох. Значит

Ответ: 1,25

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x0.

Строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки  (–3; 3) и  (5; 11).  Из точки (5;11) построим продолжение катета так, чтобы  получился внешний угол.

Так как CD параллельна оси ох, то угол ABD равен углу наклона касательной к оси ох.  Таким образом, мы будем вычислять тангенс угла ABD. Отметим, что он больше 90 градусов, поэтому здесь необходимо воспользоваться формулой приведения для тангенса:

Значит

*Длины катетов считаем по количеству клеток.

Ответ: -1,75

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x)  в точке  x0.

Решите задачу самостоятельно.

Ответ: -1,75

На рисунке изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке х0 = 10.

Построим касательную, проходящую через начало координат и точку графика с абсциссой равной 10. Обозначим угол наклона касательной как альфа, а смежный с ним угол как бета.

Значение производной в точке х0 = 10 равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. То есть, для нахождения производной достаточно вычислить тангенс  угла  альфа. Воспользуемся формулой приведения:

Тангенс угла бета можем найти из прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 и 10:

Ответ: — 0,6

На первый взгляд задачи, связанные с использованием производной входящие в ЕГЭ по математике, довольно разнообразны. Но на самом деле для их решения нужно изучить совсем небольшой «кусочек» теории. На этом всё. Второй способ решения представленных задач обязательно разберем. Надеюсь, материал был вам полезен.

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (5)
  1. Алька

    Очень много полезной и нужной информации, изложено доступно, понятно. Большое спасибо!

    • Александр Крутицких

      Очень рад! Заходите, тут кроссворд опубликовал в новой статье, возможно будете победителем, ещё никто не прислал ответ.

  2. Игорь

    Большое спасибо за задания, посмотрел уже очень много статей,все просто и понятно. :)

  3. Александра

    Спасибо за урок!Полезный сайт как для обучения,так и для подготовки к егэ!

  4. петр

    Помогло!!! Реально все понятно и доступно))

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*