Данная статья является продолжением двух предыдущих. В статье «Геометрический смысл производной. Часть 1!» была изложена теория и рассмотрен один из способов нахождения производной по данному графику функции и касательной, проведенной в определённой точке графика.
Там же я обещал вам рассмотреть ещё один способ решения подобных задач. Напомню, что задания такого типа входят в состав экзамена по математике. В статье «Уравнение прямой, проведённой через две заданные точки» мы рассмотрели формулу, благодаря которой находится уравнение прямой.
Представленная в указанных статьях теория необходима, так как тот способ, который представлен ниже, непосредственно с ней связан. Итак, кратко:
1.
Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:
где k – угловой коэффициент прямой.
То есть производная функции y = f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной:
2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки имеет вид:
После подстановки координат в данное уравнение оно приводится к виду:
Таким образом, в случае, когда даны две точки, через которые проходит касательная (прямая) к графику функции, необходимо найти уравнение этой прямой. Решением задачи будет являться коэффициент k (он равен производной).
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой xо. Найдите значение производной функции f(x) в точке xо.
Как уже сказано, значение производной функции f(x) в точке xо равно коэффициенту k из уравнения прямой y=kx+b.
Во всех подобных задачах будут даны две точки, через которые проходит касательная, в данном случае это (–6;–2) и (–1; 8). Подставляем координаты в формулу уравнения прямой:
Настоятельно рекомендую вам сделать проверку (подставьте координаты обеих точек в уравнение). Цена ошибки как вы знаете – это потерянный бал на ЕГЭ.
Проверка:
– 2 = 2 (–6) + 10 → – 2 = – 2 Верно
8 = 2 (–1) + 10 → 8 = 8 Верно
Уравнение прямой найдено верно. Если вы знаете другие способы нахождения уравнения прямой, то используйте (их, кстати, около шести).
Таким образом, f ′(x) = k = 2.
Как видите, вычисления просты.
Ответ: 2
Вывод: если вы видите перед собой подобную задачу, где на координатной плоскости обозначены две точки, через которые проведена касательная, то:
1. Определите координаты точек. Точки могут быть и не обозначены (не выделены), но на координатной сетке будет отчётливо видно, как (через какие точки) проходит прямая.
2. Найдите уравнение прямой (касательной) по представленной формуле или другим способом.
3. Проверьте полученное уравнение, подставив в него координаты точек.
4. Запишите ответ (коэффициент k).
На этом всё. Будет полезный материал в следующей статье!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
