Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Бесплатный метод устранения головной боли!

Задачи-ловушки на ЕГЭ по математике. Часть 1!

Здравствуйте, дорогие выпускники! Тёмной-тёмной ночью, один очень-очень печальный-печальный факт подвигнул меня к некоторым крайне полезным действиям ;)). Что это за факт такой? Отвечаю:

А то, что все задачи с кратким ответом на самом экзамене (профильный уровень) безошибочно решает лишь небольшая часть сдающих, а именно около 25 процентов. К сожалению, почему-то, статистики по России мне найти не удалось, может у вас есть точные данные или официальный анализ, можете написать в комментариях.

Но факт остаётся фактом и при том пренеприятным. Да! Порой сразу после экзамена наступает озарение – ту же осознаются ошибки и хочется ударить от негодования по рядом стоящему дереву, но что толку. Драгоценные баллы уже бездарно потеряны ...

Даже подготовленные ребята, допускают «смешные» ошибки, или на несложном примере теряют неоправданно много времени. Почему? Как говориться – есть причины и нюансы.

И к каким действиям этот факт меня принудил?

Решил написать пару-тройку статей, в которых разберём несколько «хитреньких» заданий. Конечно, на самом деле никаких ловушек для вас составители задач не планировали, просто так их называют в быту.

Несмотря на то, что на блоге размещено уже много задач, в этой статье сделан акцент на некоторых из них отдельно. Они просты, но почему-то при решении ребята частенько ошибаются. Итак!

26644. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Обратите внимание, что 9570 рублей это зарплата после удержания 13%. Значит разделив 9570 на 87 мы узнаем сколько рублей соответствуют 1 проценту, далее остаётся умножить полученный результат на 100, и мы определим заработную плату до удержания:

Многие привыкли решать через составление пропорции.

Всю зарплату (а она нам неизвестна) – это х рублей принимаем за 100%.  9570 рублей это зарплата после удержания и соответствует она 87 процентам. Пропорция:

9570  рублей     —    87%

х    рублей         -  100 %

Вычисляем:

Ответ: 11000

*В чём допускают ошибку и почему?

Многие очень привыкли к типу заданий, где данная в условии величина есть именно та, которую нужно принять за 100 процентов. И начинают «придумывать» такие пропорции как:

9570  рублей     -    100%

х    рублей        -    87 %

В результате получают величину меньше 9570 и записывают её как ответ. Просто оцените изначально – если сказано, что это зарплата после удержания, то понятно, что в итоге мы должны получить число больше чем 9750.

77349. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

25 процентов от 60 это:

Значит в октябре виноград стал стоить 60+15=75 рублей.

20 процентов от 75 это:

Значит в ноябре он стал стоить 75+15=90 рублей.

*Можно решить используя следующую форму записи (суть одна):

Определим цену килограмма после первого подорожания:

Определим цену после второго подорожания, при чём считать будем уже относительно цены 75 рублей:

Ответ: 90

*В чём допускают ошибку?

После первого подорожания считают, что второе  подорожание происходит относительно начальной цены в 60 рублей. И получают, что второй раз цена выросла на

В итоге получают 75+12=87 рублей.

Ребята, забудьте про начальную цену! Всё: второе подорожание происходит относительно 75 рублей. Это вроде бы и понятно, но начинаем чудить зачем-то.

77368. Решите уравнение

Используем формулу квадрата суммы (разности) двух чисел (выражений):

Вычисляем:

Проверка:

Верно.

Ответ: -1,5

*Что сказать?…

После того, как пример появился перед глазами, так и хочется приравнять выражения стоящие под знаками квадратов (и некоторые это делают):

Что получаем? Решения нет! Как нет? Так не бывает… И начинаем думать – как  же так? Может составители заданий ошиблись? А то и паника начинается.

Если видите, что у вас квадраты выражений, то сразу применяйте формулы сокращённого умножения.

Кстати, такая ошибка чревата. Будет у вас например задание:

Решить (2х+5)2=(6х+1)2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Приравняете вы выражения под корнями и получите 1. А верным ответом является совсем другое число.

**Есть ещё вариант решения. Можно перенести выражение стоящее справа в левую сторону и использовать формулу разности квадратов:

 

77382. Решите уравнение logх–549=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Всё вроде бы просто. По свойству логарифма:

Решаем квадратное уравнение:

*Можно было сразу определить, что выражение, стоящее под знаком квадрата равно 7 или –7, так как только эти два числа  при возведении в квадрат дают 49 и решить можно было так:

корни равны 12 и –2.

Важно! Обратите внимание, что при х = –2 основание логарифма имеет отрицательное значение (известно, что его основание должно быть положительным).  Если вы просто выберите меньший корень не проверив его по условию определения логарифма, то ответ запишите не верным. Решением является корень 12.

Ответ: 12

*В чём допускают ошибку? Не проверяют корни на соответствие условию логарифма. Получили два корня и выбрали меньший из них, и ошибка получилась.

27437. В параллелограмме АВCD sin A = (√21)/5. Найдите cos B.

Известно, что синусы смежных углов равны. Значит синусы двух любых соседних  углов параллелограмма равны, то есть:

Теперь из основного тригонометрического тождества остаётся найти cos B. Из sin2B+cos2B=1 следует, что

*Перед корнем мы поставили знак «–». Почему?

Из рисунка видно, что угол В тупой (он больше 90 градусов).  А  косинус  угла  от 90 до 180 градусов  отрицателен (см. тригонометрическую окружность).

*В чём допускают ошибку?

Перед  корнем упускают знак минус, и получают положительное число. Это происходит из-за того, что основное тригонометрическое тождество часто используется при решении прямоугольного треугольника и мы настолько привыкаем, что перед корнем у нас стоит плюс, что видимо это как-то отпечатывается в сознании.

**Понятно, в прямоугольном треугольнике углы острые, поэтому и значения тригонометрических функций углов положительны. Но вы помните! При выражении числа (выражения) стоящего под знаком квадрата перед корнем всегда будет «±» и что касается тригонометрического тождества, получим:

То есть сразу при прочтении условия смотрите, какую тригонометрическую функцию какого угла (острого или тупого) нужно найти.

Если это тупой угол, то косинус, тангенс и котангенс должны получиться отрицательными.

Если это острый угол, то все тригонометрические функции должны быть положительными.

*Другой путь решения

Найдём cosA.  Из основного тригонометрического тождества

Значит:

*Перед корнем поставили «+», так как угол А острый.

По свойству параллелограмма сумма его соседних углов равна 1800, значит:

Таким образом

Ответ: –0,4

В следующем задании никаких хитростей нет, но оно вызывает вопросы. Не паникуйте! Помните, что практически все логарифмические уравнения решаются через применение основных свойств логарифма.

315121. Найдите корень уравнения

Скажите, кому из вас знакомо свойство:

Если знакомо, то отлично! Вы можете использовать его смело:

И далее

*Только не забудьте о том, что выражение стоящее под знаком логарифма больше нуля, то есть проверьте корень.

А как быть если это свойство вы не знаете? Решаем по шагам используя «обычные» свойства (они вам должны быть знакомы):

Проверим выражение под знаком логарифма:

Ответ: 6

Ещё есть ряд задач без каких-то там «хитростей». И вероятность того, что вам они на ЕГЭ попадут мала, но она есть. Данные формулы в школьном курсе используются редко, поэтому имейте их ввиду.

27923. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Применим формулу радиуса окружности описанной около треугольника:

Площадь вычислим по формуле Герона:

Значит:

Вычисляем полупериметр:

Таким образом:

Ответ: 25

*Площадь треугольника также можно определить вычислив высоту опущенную из вершины С. Указанную высоту можно найти используя теорему Пифагора.

**Также зная данную высоту можно найти синус угла А, и далее для вычисления радиуса использовать следствие из теоремы синусов.

Но формулы указанные ниже помнить нужно!

1. Площадь треугольника (формула Герона):

2. Формула радиуса описанной окружности:

3. Формула радиуса вписанной окружности:

На этом всё! Как вам статья? Скоро будет ещё одна с крайне полезным содержанием. Внимание будет уделено ряду задач, которые можно решить более быстрыми способами. Время на ЕГЭ это важно! Напрасно его растрачивать не следует.

Данные задания включены в книгу «Самые хитрые задачи ЕГЭ по математике». Там собрано более 180 заданий, которым следует уделить особое внимание. Рекомендую к изучению!

Учитесь с удовольствием!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Расскажите о сайте в социальных сетях!


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*