Решить контрольную по математике !студенту!

Выполнить действия с матрицами: 2A·B-3C·D, где

Решение.

Устанавливаем возможность выполнения указанных действий.  Матрица A имеет порядок 3×5, матрица В 5×2. Умножение возможно, поскольку число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; в результате умножения получится матрица порядка 3×2. У второго произведения  матрица С имеет порядок 3×4, матрица D 4×2, умножение возможно, итоговая матрица будет иметь порядок 3×2. Сложение первого произведения со вторым также возможно, ибо оба произведения есть матрицы порядка 3×2. Следовательно

m₁₁=1×0+2×1+(-1)×(-2)+3×1+4×(-2)= -1

m₁₂=1×(-1)+2×(-2)+(-1)×0+3×1+4×1= 2

m₂₁=(-2)×0+(-1)×1+0×(-2)+1×1+2×(-2)= -4

m₂₂=(-2)×(-1)+(-1)×(-2)+0×0+1×1+2×1= 7

m₃₁=0×0+4×1+1×(-2)+(-4)×1+1×(-2)= -4

m₃₂=0×(-1)+4×(-2)+1×0+(-4)×1+1×(-2)= -11

Итак,

n₁₁=1×1+(-2)×0+1×(-1)+4×2= 8

n₁₂=1×(-1)+(-2)×(-2)+1×3+4×(-1)=2

n₂₁=(-2)×1+1×0+0×(-1)+1×2= 0

n₂₂=(-2)×(-1)+1×(-2)+0×3+1×(-1)= -1

n₃₁=0×1+2×0+3×(-1)+(-1)×2= -5

n₃₂=0×(-1)+2×(-2)+3×3+(-1)×(-1)=6

Итак,

Тогда 2A·B-3C·D=2M+(-3) N=

Решить систему линейных уравнений  матричным методом

Решение.

В матричной форме систему из n линейных уравнений  c n неизвестными можно записать так: АХ=В, где А – основная матрица коэффициентов системы; Х – матрица-столбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов. Умножив слева обе части равенства АХ=В на А^-1 (А^-1 существует, если detА=Δ≠0), получим  А^-1АХ= А^-1В; ЕХ= А^-1В, здесь Е – единичная матрица.

Следовательно  Х= А^-1В, т.е. чтобы найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом, нужно матрицу, обратную матрице из коэффициентов системы, умножить на матрицу – столбец свободных членов. В результате получаем матрицу-столбец, которая и будет решением данной системы.

Найдем определитель матрицы А

Следовательно, матрица А имеет обратную матрицу. Обратная матрица А^-1 определяется по формуле:

где А_ij – алгебраические дополнения элементов a_ij данной матрицы А.

Найдем алгебраические дополнения для элементов матрицы:

Обратная матрица имеет вид

Необходимо сделать проверку: А^-1А=Е

с₁₁=9×1+(-16)×(-4)+1×(-1)=72;

c₁₂=9×2+(-16)×1+1×(-2)=0;

c₁₃=9×3+(-16)×2+1×5=0;

с₂₁=18×1+8×(-4)+(-14)×(-1)=0;

c₂₂=18×2+8×1+(-14)×(-2)=72;

c₂₃=18×3+8×2+(-14)×5=0;

с₃₁=9×1+0×(-4)+9×(-1)=0;

c₃₂=9×2+0×1+9×(-2)=0;

c₃₃=9×3+0×2+9×5=72.

Найдем  теперь решение системы Х=А^-1В

Ответ: х₁=-2, х₂=-1, х₃=4

Решить систему по формулам Крамера, выполнить проверку:

Решение.

Имеем линейную неоднородную систему из 4 уравнений с 4 неизвестными (m=n=4). Составим из коэффициентов при неизвестных основной определитель системы Δ. Если Δ≠0, то согласно теореме Крамера система совместна  и ее единственное решение находится по формулам

Где Δ_i— вспомогательный определитель для нахождения неизвестного х_i, который получается из основного определителя системы Δ путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов. Определители будем вычислять, образуя нули в каком — либо столбце (или строке.

Проверка. Подставим найденное решение в исходную систему, то есть во все четыре уравнения. Получим:

Отсюда следует что решение найдено верно.

Ответ: х₁=-6, х₂=9, х₃=-14, х₄=9

Исследовать систему уравнений и решить ее методом Гаусса, если она совместна:

1. Найти ее общее решение;
2. Базисное решение;
3. Частное решение;
Сделать проверку.

Решение.

Дана неоднородная линейная система из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными (m=n=4).

Определим, совместна или нет система (*). Вычисляем для этого ранги расширенной и основной матриц системы: Rg (A,B) и RgA.

(привели матрицу (A,B) к матрице (A’,B’), имеющую ступенчатую форму).

Итак, Rg (A, B) = Rg (A’, B’) = 2, RgA= RgA’ = 2 => RgA= Rg (A,B)=2. Следовательно система (*) совместна. Так как Rg A< n (n = 4) => система имеет бесчисленное множество решений.

1. Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем к следующей эквивалентной системе

где  х₁ и х₃— базисные неизвестные,

х₂ и х₄— свободные неизвестные.

От системы (**) перейдем к другой эквивалентной системе

Решая систему (***) , как систему из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными х₁ и х_3, найдем их. Из последнего уравнения  имеем  x₃ = 1

Тогда из первого уравнения найдем х₁=2х₃-2+2х₂+x₄= 2х₂+x₄

Т.к. х₂ и х₄ — свободные неизвестные, то можно считать х₂ =a, х₄ = b.

Тогда общее решение системы (***), а значит и (*) имеет вид

х₁=2a+b ; x₂ =1 , x₃ = 1; х₄= b

или

2. Частное решение, в котором все свободные переменные равны нулю, называют базисным решением: х₁=0 , х₂=0, х₃=1 х₄=0.

3. Найдем частное решение системы (*), полагая например, a=1,b=1, тогда имеем

х₁= 3, х₂ = 1, х₃ = 1, х₄ = 1.

Проверка (по исходной системе):

=> общее решение найдено верно.

Ответ:

х₁=2a+b ; x₂=1 , x₃=1; х₄= b

х₁=0,  х₂=0, х₃=1, х₄=0

х₁=3, х₂=1, х₃=1, х₄=1

Исследовать систему и решить ее методом Гаусса, если она совместна

Решение.

Дана неоднородная линейная система из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными (m=n=4)...

Определим, совместна или нет система (*). Вычисляем для этого ранги расширенной и основной матриц системы: Rg (A,B) и RgA.

(привели матрицу (A,B) к матрице (A’,B’), имеющую ступенчатую форму).

Итак, Rg (A, B) = Rg (A’, B’) = 4, RgA= RgA’ =4 =>  RgA= Rg (A,B)=4. Следовательно система (*) совместна. Т.к. Rg A= n (n = 4) => система имеет  единственное решение.

Найдем все решения системы (*). Для этого перейдем к следующей эквивалентной системе.

где все неизвестные — базисные.

Решая систему (**), как систему из 4-х уравнений с 4-мя неизвестными, найдем x₁, x₂, x₃, x₄. Из последнего уравнения  имеем x₄ = 2. Тогда из третьего уравнения найдем

x₃= 26х₄-54=52-54=-2

Из второго уравнения найдем

x₂= 9х₃-13x₄+47=-18-26+47=-44+47=3

Из первого уравнения находим

х₁=x₂+4x₃-9x₄+22=3-8-18+22= -1.

Проверка. Подставим найденные значения неизвестных во все уравнения системы (*).

Решение найдено верно.

Ответ: х₁=-1, х₂=3, х₃=-2, х₄=2