ВЫБЕРИ репетитора! Промокод на скидку 25283
ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

В сосуде, имеющем форму конуса

Рассмотрим ряд заданий связанных с понятием объёма конуса. Теория была представлена здесь, посмотрите.

72353. Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Сразу отметим, что исходный и отсечённый конус подобны и если рассматривать отсечённый конус относительно исходного, то можно сказать так: меньший конус подобен большему с коэффициентом равным одной второй или 0,5. Можем записать:

Можно было записать:

Можно было рассудить так!

Рассмотрим исходный конус относительно отсечённого. Можно сказать – больший конус подобен отсечённому с коэффициентом равным двум, запишем:

Теперь посмотрите решение без использования свойств подобия.

Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания и высоты:

Рассмотрим боковую проекцию (вид сбоку) с указанным сечением:

Пусть радиус большего конуса равен R, высота равна Н.  Сечение (основание меньшего конуса) проходит через середину высоты, значит его высота будет равна Н/2. А радиус основания равен R/2, это следует из подобия треугольников.

Запишем объём исходного конуса:

Объём отсечённого конуса будет равен:

Столь подробные решения представлены для того, чтобы вы видели как можно выстроить рассуждения. Действуйте любым способом – главное, чтобы вы понимали суть решения. Пусть путь, который вы выбрали будет не рационален, важен результат (верный результат).

Ответ: 1,25

318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половину высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Данная задача схожа с предыдущей. Хоть речь здесь и идёт о жидкости, принцип решения один и тот же.

Имеем два конуса – это сам сосуд и «малый» конус (наполненный  жидкостью), они являются подобными. Известно, что объёмы подобных тел соотносятся следующим образом:

Исходный конус (сосуд) подобен конусу наполненному жидкостью с коэффициентом равным 2, так как сказано, что уровень жидкости достигает половину высоты. Можно записать подробнее:

Вычисляем:

Таким образом, долить нужно:

Ответ: 490

Другие задачи с жидкостями смотрите здесь.

74257. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 300. В ответе укажите V/Пи.

Объем конуса:

Высоту конуса найдем по свойству прямоугольного треугольника.

Катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза, в данном случае, является образующей конуса. Следовательно высота конуса равна 22.

Квадрат радиуса основания найдем по теореме Пифагора:

*Нам нужен квадрат радиуса, а не сам радиус.

Тогда объем будет равен:

Результат разделим на Пи как указано в условии и запишем ответ.

Ответ: 10648

27120. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на Пи.

Для того, чтобы найти объём конуса необходимо знать высоту и площадь основания:

Высота известна. Необходимо найти площадь основания. Нам известна образующая и высота конуса, можем вычислить радиус основания и затем уже  найти его площадь. По теореме Пифагора:

*Оставим квадрат радиуса (именно это значение необходимо для дальнейшего вычисления), сам радиус нам не нужен.

Таким образом, объём конуса будет равен:

В ответ записываем результат делённый на Пи.

Ответ: 128

75235. Диаметр основания конуса равен 30, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на Пи.

Объём конуса:

Сказано, что угол при вершине осевого сечения равен 900. Это означает, что осевым сечением является прямоугольный (равнобедренный) треугольник с углами при основании равными по 450. Высота опущенная из прямого угла равна радиусу основания конуса. *Она разбивает указанный треугольник на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника:

По свойству равнобедренного треугольника:

Таким образом,  объем конуса будет равен:

Полученный результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 1125

27122. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на Пи.

Треугольник АВС равнобедренный, то есть АС = СВ = 6.

То есть и высота конуса и радиус основания равны шести.

Таким образом, объём конуса:

Делим результат на Пи и записываем ответ.

Ответ: 72

27052. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Посмотреть решение

27093. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 300. В ответе укажите V/Пи.

Посмотреть решение

27121. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 900. Вычислите объем конуса, деленный на Пи.

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

1 × три =

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.