Рассмотрим ряд заданий связанных с понятием объёма конуса. Теория была представлена здесь, посмотрите.
72353. Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Сразу отметим, что исходный и отсечённый конус подобны и если рассматривать отсечённый конус относительно исходного, то можно сказать так: меньший конус подобен большему с коэффициентом равным одной второй или 0,5. Можем записать:
Можно было записать:
Можно было рассудить так!
Рассмотрим исходный конус относительно отсечённого. Можно сказать – больший конус подобен отсечённому с коэффициентом равным двум, запишем:
Теперь посмотрите решение без использования свойств подобия.
Объём конуса равен одной трети произведения площади его основания и высоты:
Рассмотрим боковую проекцию (вид сбоку) с указанным сечением:
Пусть радиус большего конуса равен R, высота равна Н. Сечение (основание меньшего конуса) проходит через середину высоты, значит его высота будет равна Н/2. А радиус основания равен R/2, это следует из подобия треугольников.
Запишем объём исходного конуса:
Объём отсечённого конуса будет равен:
Столь подробные решения представлены для того, чтобы вы видели как можно выстроить рассуждения. Действуйте любым способом – главное, чтобы вы понимали суть решения. Пусть путь, который вы выбрали будет не рационален, важен результат (верный результат).
Ответ: 1,25
318145. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половину высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Данная задача схожа с предыдущей. Хоть речь здесь и идёт о жидкости, принцип решения один и тот же.
Имеем два конуса – это сам сосуд и «малый» конус (наполненный жидкостью), они являются подобными. Известно, что объёмы подобных тел соотносятся следующим образом:
Исходный конус (сосуд) подобен конусу наполненному жидкостью с коэффициентом равным 2, так как сказано, что уровень жидкости достигает половину высоты. Можно записать подробнее:
Вычисляем:
Таким образом, долить нужно:
Ответ: 490
Другие задачи с жидкостями смотрите здесь.
74257. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 300. В ответе укажите V/Пи.
Объем конуса:
Высоту конуса найдем по свойству прямоугольного треугольника.
Катет лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы. Гипотенуза, в данном случае, является образующей конуса. Следовательно высота конуса равна 22.
Квадрат радиуса основания найдем по теореме Пифагора:
*Нам нужен квадрат радиуса, а не сам радиус.
Тогда объем будет равен:
Результат разделим на Пи как указано в условии и запишем ответ.
Ответ: 10648
27120. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на Пи.
Для того, чтобы найти объём конуса необходимо знать высоту и площадь основания:
Высота известна. Необходимо найти площадь основания. Нам известна образующая и высота конуса, можем вычислить радиус основания и затем уже найти его площадь. По теореме Пифагора:
*Оставим квадрат радиуса (именно это значение необходимо для дальнейшего вычисления), сам радиус нам не нужен.
Таким образом, объём конуса будет равен:
В ответ записываем результат делённый на Пи.
Ответ: 128
75235. Диаметр основания конуса равен 30, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на Пи.
Объём конуса:
Сказано, что угол при вершине осевого сечения равен 900. Это означает, что осевым сечением является прямоугольный (равнобедренный) треугольник с углами при основании равными по 450. Высота опущенная из прямого угла равна радиусу основания конуса. *Она разбивает указанный треугольник на два равных прямоугольных равнобедренных треугольника:
По свойству равнобедренного треугольника:
Таким образом, объем конуса будет равен:
Полученный результат разделим на Пи и запишем ответ.
Ответ: 1125
27122. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на Пи.
То есть и высота конуса и радиус основания равны шести.
Таким образом, объём конуса:
Делим результат на Пи и записываем ответ.
Ответ: 72
27052. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
27093. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 300. В ответе укажите V/Пи.
27121. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 900. Вычислите объем конуса, деленный на Пи.
На этом всё! Успеха Вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
