Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Бесплатный метод устранения головной боли!

Конус описан около правильной пирамиды

В этой статье для вас представлены задачи по стереометрии с комбинацией тел – правильной четырёхугольной пирамидой и конусом, который около неё описан (или вписан в неё). Ставятся вопросы о вычислении объёма.

Необходимая теория: формула объёма конуса, теорема Пифагора. Понятно, что если речь идёт о конусе, который описан или вписан в пирамиду, то их высоты будут равны (высота у них общая).

Объём конуса:

Рассмотрим задачи:

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 12 и высотой 10. Найдите его объем, деленный на Пи.

Объём конуса равен произведению одной трети его основания и высоты:

Высота нам известна, необходимо найти радиус основания конуса. Он равен половине диагонали квадрата ABCD. По теореме Пифагора мы можем её вычислить:

Значит радиус основания конуса будет равен:

Таким образом, объем конуса:

Результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 240

 

Объём конуса, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, равен 64. Найдите объём конуса, вписанного в эту пирамиду.

Объём конуса равен произведению одной трети площади его основания и высоты:

Высоты конусов равны. Получается, что единственная величина от которой зависят объёмы конусов это площади их оснований. Если мы определим как они взаимосвязаны, то тогда без труда ответим на поставленный вопрос.

Пусть радиус основания вписанного конуса равен r. Тогда площадь основания вписанного конуса равна:

Радиус основания описанного конуса будет равен:

*Подробнее о связи радиусов вписанной и описанной около квадрата окружности можете посмотреть информацию здесь.

Мы получили, что площадь основания описанного конуса в 2 раза больше площади основания вписанного конуса.

Вывод: объём конуса описанного около правильной четырёхугольной пирамиды будет в 2 раза больше объёма вписанного конуса.

Таким образом, объём конуса вписанного в пирамиду будет равен 32.

Разберём второй подход к решению:

Нам известен объём описанного конуса, нет никаких других данных. Необходимо установить как взаимосвязаны объёмы конусов.

Обозначим сторону квадрата в основании пирамиды как а, запишем чему будет равен объём вписанного конуса:

Диаметр основания описанного конуса – это диагональ квадрата. По теореме Пифагора она будет равна:

Значит объем описанного конуса будет равен:

Найдём отношение объёмов:

Таким образом, объем описанного конуса больше объема вписанного конуса в 2 раза, и исходя из условия искомый объём будет равен 32.

Ответ: 32

27123. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на Пи.

Посмотреть решение

27124. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Делитесь информацией в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*