Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Площадь поверхности конуса. Часть 4!

Площадь поверхности конуса. Для вас очередная статья с конусами. Рекомендую посмотреть предыдущую статью. Здесь в некоторых заданиях используется тот же подход к решению.

В представленных заданиях речь идет о площади боковой поверхности конуса. Необходимо знать формулу, по которой она вычисляется:

где   l – длина окружности основания

L – образующая

*Образующая конуса – это  отрезок, соединяющий вершину конуса

и точку, лежащую на окружности основания.

Мы знаем, что длина окружности вычисляется по формуле:

Поэтому можем записать:

Рекомендую запомнить первую формулу, вторую вы всегда сможете вывести.

Формула полной поверхности конуса:

где R – радиус основания конуса

L – длина  образующей

*Стоит отметить некоторую некорректность в условиях (не только в представленных задачах), а именно — не даны единицы измерения (метры, сантиметры, ...), а только числовое выражение линейных характеристик. 

Поэтому при нахождении площади следовало бы записывать ответ в задачах следующим образом:

10 кв.ед.    или    49 кв.ед.  (квадратные единицы)

Но мы с вами закроем на это глаза. Итак, рассмотрим задачи:

27135. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна:

Подставляем данные:

Ответ: 3

 

75697. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 36 раз, а радиус основания останется прежним?

Площадь боковой поверхности конуса:

Образующая увеличивается в 36 раз.  Радиус остался прежним, значит длина окружности основания не изменилась.

Значит площадь боковой поверхности изменённого конуса будет иметь вид:

Таким образом, она увеличится в 36 раз.

*Зависимость прямолинейная, поэтому эту задачу без труда можно решить устно.

Ответ: 36

27137. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?

Площадь боковой поверхности конуса равна:

Радиус уменьшается в 1,5 раза, то есть:

Получили, что  площадь боковой поверхности уменьшилась в 1,5 раза.

Ответ: 1,5

27159. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите площадь его полной поверхности, деленную на Пи.

Полная поверхность конуса:

Необходимо найти радиус.

Известна высота и образующая, по теореме Пифагора вычислим радиус:

Таким образом:

Полученный результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 144

76299. Площадь полной поверхности конуса равна 108. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Формула полной поверхности конуса:

Сечение проходит через середину высоты параллельно основанию. Значит радиус основания и образующая отсеченного конуса будут в 2 раза меньше радиуса и образующей исходного конуса. Запишем чему равна площадь поверхности отсечённого конуса:

Получили, что она будет в 4 раза меньше площади поверхности исходного, то есть 108:4 = 27.

Ответ: 27

*Так как исходный и отсечённый конус являются подобными телами,  то можно было воспользоваться свойством подобия:

 

27167. Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на Пи.

Формула полной поверхности конуса:

Радиус известен, необходимо найти образующую:

По теореме Пифагора:

Таким образом:

Результат разделим на Пи и запишем ответ.

Ответ: 24

Задача. Площадь боковой поверхности конуса в четыре раза больше площади основания. Найдите чему равен косинус угла между образующей конуса и плоскостью основания.

Площадь основания конуса равна:

Площадь боковой поверхности:

Исходя из условия можем записать:

Искомый угол – это угол между образующей и радиусом. Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (в данном случае указанный катет – это радиус, гипотенуза – это образующая):

То есть косинус будет равен:

Ответ: 0,25

 

27136. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

Посмотреть решение

27160. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27161. Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсеченного конуса.

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (2)
  1. Женя

    «Площадь боковой поверхности конуса в четыре раза больше площади основания», почему тогда в решении написано 4*Sосн=Sбок, а не Sосн=4*Sбок?

    • Александр

      Площадь боковой поверхности конуса в четыре раза больше площади основания — это означает, что пл. боковой поверхности равна 4 площадям основания, всё правильно записано.

      Sосн=4*Sбок означает, что площадь основания в 4 раза больше.

      Запишем простой пример в числах:

      24 в 4 раза больше чем 6. Как это выразить?

      Просто — 24=4*6

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*