Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Бесплатный метод устранения головной боли!

Скалярное произведение векторов. Угол между векторами!

   Скалярное произведение векторов. Дорогие друзья! В состав экзамена по математике входит группа задач на решение векторов. Некоторые задачи мы уже рассмотрели. Можете посмотреть их в категории «Векторы».  В целом, теория векторов несложная, главное последовательно её изучить. Вычисления и действия с векторами в школьном курсе математики просты, формулы не сложные.  Загляните в справочник. В этой статье мы разберём задачи на скалярное произведение векторов (входят в ЕГЭ). Теперь  объявляю «погружение» в теорию.

Координаты вектора

«Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала»

Скалярное произведение векторов

И ещё:

*Длина вектора (модуль)  определяется следующим образом:

Данные  формулы необходимо запомнить!!!

Покажем угол между векторами:

Понятно, что он может изменяться в пределах от 0 до 1800 (или в радианах от 0 до Пи).

Можем сделать некоторые выводы о знаке скалярного произведения. Длины векторов имеют положительное значение, это очевидно. Значит знак скалярного произведения зависит от значения косинуса угла между векторами.

Возможны случаи:

1. Если угол между векторами острый (от 00 до 900), то косинус угла будет иметь положительное значение.

2. Если угол между векторами тупой (от 900 до 1800), то косинус угла будет иметь отрицательное  значение.

*При нуле градусов, то есть когда векторы имеют одинаковое направление, косинус равен единице и соответственно результат скалярного произведения векторов  будет положительным.

При  180о, то есть когда векторы имеют противоположные направления, косинус равен минус единице,  и соответственно результат скалярного произведения векторов  будет отрицательным.

Теперь ВАЖНЫЙ МОМЕНТ!

При  90о, то есть когда векторы перпендикулярны друг другу, косинус равен нулю, а значит и скалярное произведение равно нулю. Этот факт (следствие, вывод) используется при решение многих задач, где речь идёт о взаимном расположении векторов, в том числе и в задачах входящих в открытый банк заданий по математике.

Сформулируем утверждение:  скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы лежат на перпендикулярных прямых.

Итак, формулы скалярного произведения векторов:

Если известны координаты векторов или координаты точек их начал и концов, то всегда сможем найти угол между векторами:

 

Рассмотрим задачи:

Скалярное произведение векторов мы можем найти по одной из двух формул:

Угол между векторами неизвестен, но мы без труда можем найти координаты векторов и далее воспользоваться первой формулой. Так как начала обоих векторов совпадают с началом координат, то координаты данных векторов равны координатам их концов, то есть

Как найти координаты вектора изложено в этой статье.

Вычисляем:

Ответ: 40

Найдём координаты векторов и воспользуемся формулой:

Чтобы найти координаты вектора необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала, значит

Вычисляем скалярное произведение:

Ответ: 40

Пусть координаты векторов имеют вид:

Для нахождения угла между векторами используем формулу скалярного произведения векторов:

Косинус угла между векторами:

Следовательно:

Координаты данных векторов равны:

Подставим их в формулу:

Угол между векторами равен 45 градусам.

Ответ: 45

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

На этом  всё! Успехов вам! 

С уважением, Александр Крутицких.

На уроке физкультуры: — Так, парни, кто из вас курит? Честно! Не врать! Так. ... значит, ты... и ты. ... Понятно... Значит, так: мы с вами покурим, остальным — пять кругов по стадиону.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (4)
  1. Кирилл

    Ребята, у вас ошибка в формуле косинуса между двумя векторами. Конкретно: в знаменателе непонятным образом расписаны модули векторов.

    • Александр Крутицких

      Модули векторов это их длины, формула в статье )

  2. Семён

    Спасибо, всё отлично расказанно.

  3. Антон

    Последнее задание решал решал, решил через угол 30гр, а оказывается все проще ахаха

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*