Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Знаки тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций. Друзья! В одной из прошлых статей, где мы рассматривали решение задач на вычисление значений тригонометрических выражений, предлагалось запомнить как факт 

Знаки тригонометрических функций

Помнить эту информацию крайне необходимо. Но необходимо понимать из чего она  исходит, так как именно понимание этого – есть одно из основных  условий усвоения сути тригонометрии.

Построим тригонометрическую окружность (окружность на координатной плоскости с радиусом равным единице); радиус-вектор, повернутый на произвольный угол от 0 до 90 градусов; обозначим абсциссу и ординату точки пересечения радиус-вектора и единичной окружности соответственно х и у:

ОА – это радиус-вектор;

А – точка пересечения радиус-вектора и тригонометрической окружности;

α (альфа) – угол, на который поворачивается радиус-вектор;

у – ордината точки А;

х – абсцисса точки А;

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВА.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике:

Вывод (он же является определением синуса):

Синусом угла α (альфа) называется ордината (координата y) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиус-вектора на угол α.

Следствие, которое можем сделать:

Значения синусов углов лежащих в первой и второй четверти  положительны, а лежащих в третьей и четвёртой четверти отрицательны.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

Вывод (он же является определением косинуса):

Косинусом угла α (альфа) называется абсцисса (координата x) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиус-вектора на угол α.

Следствие, которое можем сделать:

Значения косинусов углов лежащих в первой и четвёртой четверти  положительны, а лежащих во второй и третьей четверти отрицательны.

По определению тангенса в прямоугольном треугольнике:

Тангенс угла α (альфа) — это отношение синуса к косинусу.

Или, по-другому — отношение координаты  y  к координате  x.

По определению котангенса в прямоугольном треугольнике:

Котангенс угла α (альфа) — это отношение косинуса к синусу

Или, по-другому — отношение координаты  x  к координате  y.

Знаки тангенса и котангенса в четвертях определяются просто, в каждой четверти определяем знак синуса и косинуса, далее делим:

При делении положительного числа на положительное, получаем положительное число; при делении положительного числа на отрицательное получаем отрицательное число.

При делении отрицательного числа на положительное, получаем отрицательное число; при делении отрицательного числа на отрицательное получаем положительное число.

Как вы поняли, знаки тангенса и котангенса в соответствующих четвертях одинаковы.

Кстати, один из выводов, который следует из определений синуса и косинуса:

Известно, что по теореме Пифагора ОА2 = АВ2 + ОВ2, то есть 1 = у2 + х2

По определению синуса и косинуса, изложенным выше:

ЗНАЧИТ

А ЭТО ЕСТЬ

ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО

Как видим, основное тригонометрическое тождество и теорема Пифагора «крепко» связаны. Понимание «природы» этой формулы, а также знание  информации, которую даёт нам тригонометрическая окружность определяет успех в изучении разделе курса «Тригонометрия» . 

Следующих определений в курсе тригонометрии не существует, это скорее «словесная связка»  или своеобразный штамп, который позволяют быстро вспомнить информацию. Излагаю только потому, что мне лично это помогало быстро вспоминать сами определения синуса и косинуса, а также знаки функций в четрвертях. Буду рад, если это поможет и вам.

Предлагаю  запомнить:

Если вы это чётко усвоите, то например, если речь пойдёт о синусе какого-либо угла, то мысленно можно проецировать точку пересечения радиус-вектора и единичной окружности на ость оу (ось ординат) и определять значение синуса этого угла (разумеется если значение табличное). Можно не мысленно, а по эскизу:

В разделе ФОРМУЛЫ мы продолжим рассматривать полезные теоретические моменты, не пропустите!

На этом закончим. Успехов вам! 

С уважением, Алексндр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажите о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (3)
  1. Татьяна Бурмистренко

    Вообще не понимаю, зачем авторы в своих учебниках помещают рисунки со знаками тригонометрических функций. Ведь ученики даже не пытаются понять, откуда берутся эти «+» и «-», и при малейшем затруднении заглядывают в «шпаргалки».

    Хотя при толковом объяснении , как у Вас Александр, и с акцентом — откуда именно берутся эти знаки, таким образом половину тригонометрии можно не запоминать, а понимать. И восстанавливать в своей памяти без напряга.

    Спасибо за статью.

    P.S. А как запомнить основное триг. тождество, можно посмотреть здесь: repetitor-problem.net/kak...eskoe-tozhdestvo

  2. Дайэн

    Спасибо,статья то, что надо!)

  3. Андрей Сильченко

    Очень полезная статья! Всё хорошо разобрано, по полочкам. Спасибо! Даже я понял, что к чему, ведь я, тот еще тугодум. :)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*