Уравнение прямой проходящей через две точки. В статье "Геометрический смысл производной. Часть 1" я обещал вам разобрать второй способ решения представленных задач на нахождение производной, при данном графике функции и касательной к этому графику. Этот способ мы разберём в следующей статье, не пропустите! Почему в следующей?
Дело в том, что там будет использоваться формула уравнения прямой. Конечно, можно было бы просто показать данную формулу и посоветовать вам её выучить. Но лучше объяснить – от куда она исходит (как выводится). Это необходимо! Если вы её забудете, то быстро восстановить её не представит труда. Ниже подробно всё изложено. Итак, у нас на координатной плоскости имеется две точки А(х1;у1) и В(х2;у2), через указанные точки проведена прямая:
Вот сама формула прямой:
*То есть при подстановке конкретных координат точек мы получим уравнение вида y=kx+b.
**Если данную формулу просто «зазубрить», то имеется большая вероятность запутаться с индексами при х. Кроме того, индексы могут обозначаться по разному, например:
Поэтому-то и важно понимать смысл.
Теперь вывод этой формулы. Всё очень просто!
Отметим на прямой точку С(x;у), далее построим прямую проходящую через точку А параллельную оси оХ:
Треугольники АВЕ и ACF подобны по острому углу (первый признак подобия прямоугольных треугольников). Из этого следует, что отношения соответственных элементов равны, то есть:
Теперь просто выражаем данные отрезки через разность координат точек:
Конечно, не будет никакой ошибки если вы запишите отношения элементов в другом порядке (главное соблюдать соответствие):
В результате получится одно и тоже уравнение прямой. Это всё!
То есть, как бы не были обозначены сами точки (и их координаты), понимая данную формулу вы всегда найдёте уравнение прямой.
Формулу можно вывести используя свойства векторов, но принцип вывода будет тот же, так как речь будет идти о пропорциональности их координат. В этом случае работает всё то же подобие прямоугольных треугольников. На мой взгляд описанный выше вывод более понятнее )).
Пусть на координатной плоскости построена прямая, проходящая через две заданные точки А(х1;у1) и В(х2;у2). Отметим на прямой произвольную точку С с координатами (x;y). Также обозначим два вектора:
Известно, что у векторов лежащих на параллельных прямых (либо на одной прямой), их соответствующие координаты пропорциональны, то есть:
— имеем координаты векторов
— записываем равенство отношений соответствующих координат:
Рассмотрим пример:
Найти уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (2;5) и (7:3).
Можно даже не строить саму прямую. Применяем формулу:
Важно, чтобы вы уловили соответствие, при составлении соотношения. Вы не ошибётесь, если запишите:
Решаем:
Ответ: у=-2/5x+29/5 иди у=-0,4x+5,8
Для того, чтобы убедится, что полученное уравнение найдено верно, обязательно делайте проверку — подставьте в него координаты данных в условии точек. Должны получится верные равенства.
На этом всё. Надеюсь, материал был вам полезен.
С уважением, Александр.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Спасобо огромное!
Очень помогли!
10 из 10 !!!)))