Стрелок в тире стреляет по мишени

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

Вероятность попадания в мишень равна 0,2. Значит  вероятность промаха равна  0,8. ИТАК! Вероятность поразить мишень с первого выстрела равна 0,2.

Вероятность поразить мишень со второго выстрела, то есть промахнуться первый раз и попасть второй раз, равна 0,8 · 0,2  =  0,16. Тогда вероятность поразить мишень за два выстрела будет равна

0,2 + 0,16  =  0,36

Вероятность поразить мишень с третьего выстрела равна 0,8 · 0,8 · 0,2  =  0,128. Тогда вероятность поразить мишень за три выстрела равна

0,36 + 0,128  =  0,488

Вероятность поразить мишень с четвертого выстрела равна 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,2  =  0,1024. Тогда вероятность поразить мишень за четыре выстрела равна

0,488 + 0,1024  =  0,5904

Вероятность поразить мишень с пятого выстрела равна 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,8 · 0,2  =  0,08192. Тогда вероятность поразить мишень за пять выстрелов будет равна

0,5904 + 0,08192  =  0,67232

Эта вероятность превышает 0,6.  Следовательно, достаточно пяти выстрелов (и более), соответственно, то есть хватит пяти патронов.

*Понятно, что с вероятностью более 0,6 цель будет поражена и с шести, и с семи, и тд выстрелов, но пять это наименьшее достаточное число выстрелов.

Еще решение.

Заметим, что вероятность попадания с n-го раза будет равна 1 − 0,8ⁿ. Таким образом, задача сводится к решению неравенстваДалее можно пойти путём алгебраических преобразований:Конечно, если бы можно было пользоваться калькулятором, то мы применили одно из свойств логарифма:

*На калькуляторе вычисляем числитель и знаменатель, получим что n≥4,1. Так как n целое, ответ 5.

Без калькулятора поступаем так:При n=2 получаем  0,8⋅0,8=0,64

При n=3 получаем  0,8⋅0,8⋅0,8=0,512

При n=4 получаем  0,8⋅0,8⋅0,8⋅0,8=0,4096

При n=5 получаем  0,8⋅0,8⋅0,8⋅0,8⋅0,8=0,32768

Таким образом,  ответ 5.

Ответ: 5

Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

Сразу обратим внимание: выражение «потребуется не больше двух попыток» означает, что сообщение уйдет с первой ИЛИ со второй попытки. Значит,  искомая вероятность будет равна сумме вероятностей событий:

А. Сообщение будет передано с первой попытки.

Б. Сообщение будет передано со второй попытки.

Отметим, что вероятность неудачной отправки равна 1 − 0,4  =  0,6. Итак, вероятность передачи с первой попытки равна 0,4. Вероятность события НЕ передано с первой, ПРИ этом передано со второй равна 0,6·0,4=0,24.

Тогда искомая вероятность будет равнаОтвет: 0,64

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Сразу обратим внимание на вопрос задачи:  … тест оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание? То есть множество исходов это число пациентов с положительным результатом теста.

Пусть  x это вероятность того, что пациент болен. Тогда вероятность того, что он не болен равна 1-х. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Это значит, что  вероятность того, что пациент болен и тест подтверждает это, равна  x · 0,86.

Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в 94% случаев, значит, вероятность того, что пациент не болен, а тест при этом дал положительный результат, равнаТо есть анализ положителен в двух случаях:

А) пациент болеет, при этом его анализ положителен

B) пациент не болеет, при этом его анализ положителен (ложно)

Тесть оказывается положителен у 10 процентов пациентов, можем записать:Отсюда выразим x:То есть это у нас вероятность того что пациент пришедший к доктору действительно болен. Нам же необходимо найти  вероятность того, что человек, у которого тест оказался положительным, действительно имеет заболевание. Давайте отразим все события:

Вероятность события: пациент болен и тест положителен равна

0,05 · 0,86=0,043

Вероятность события: пациент болен и тест отрицателен равна

0,05 · 0,14=0,007

Вероятность события: пациент не болен и тест положителен (ложно) равна

0,95 · 0,06=0,057

Вероятность события: пациент не болен и тест отрицателен равна

0,95 · 0,94=0,893

Итак, тест будет положителен с вероятностью: 0,043+0,057=0,1 (действительно в 10 процентах случаях). Остается найти отношение вероятностей:

Ответ: 0,43

Очень красивое лаконичное решение Виталия Вяликова, размещенное на сайте ege.sdamgia.ru. Комментарий: не всем и не всегда удобно и понятно как работать с процентами в задачах по теории вероятностей. Намного удобнее работать с числами.

Пусть x  — число больных пациентов и y  — число здоровых. Тогда всего имеется x + y пациентов. Общее число положительных ПЦР-тестов по условию равно 0,1 (x + y), из которых 0,86x тестов приходится на больных пациентов и 0,06y тестов  — на здоровых.

Тогда можем записать:Таким образом, вероятность того, что ПЦР-тест был положительный и взят у действительно больного пациента, равнаОтвет: 0,43