Решить |cosx+sinx|=(sqrt2) sin2x

Решите уравнение

1. Сразу следует отметить, что выражение

так как |cos x+sin x| имеет неотрицательное значение. Исходя из того, что корень из двух есть число положительное, получаем:

2. Используя свойство модуля, получим два  уравнения, решения каждого из них будут являться решением данного уравнения:

Решаем первое. Возводим в квадрат обе части:

Данное уравнение сводится к квадратному. Пусть sin2x = t, тогда получим

Значит

Мы установили (в начале решения), что sin2x ≥ 0. Это  область допустимых значений. Можем сделать вывод, что  второе уравнение решать нет смысла – так как полученные при решении значения х не будут входить в область определения.

Решаем  sin2x = 1,  получим:

Рассмотрим второе уравнение:

Решением является тот же корень что и при решении уравнения (1), так как  при возведении в квадрат обеих частей получим то же уравнение