Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Игорь и Паша красят забор

В прошлой статье мы рассмотрели решение нескольких задач на работу. Это задачи, которые присутствуют в составе ЕГЭ по математике. Ознакомьтесь с теоретическим материалом, который в ней изложен, это важно. Здесь продолжим, и рассмотрим ещё  задачи.

Повторим формулу и правила решения задач на работу:

*Работа равна произведению её производительности и времени за которое она совершается.

Из этой формулы легко найти время и производительность:

Ещё раз повторим правила, которые работают в таких задачах:

1. Если объем работы не важен и в задаче нет никаких данных, позволяющих его найти  — работа принимается за единицу. Построен дом (один), покрашен забор (один), наполнен резервуар (один). А вот если речь идет о количестве кирпичей, количестве деталей, литрах воды, покрашенных метрах  —  работа как раз и равна этому количеству.

2. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно)  — их производительности складываются.

3. В качестве переменной «х» удобно взять производительность.

4. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два мастера, Даша и Маша...) или трое (не важно)  — их производительности складываются.

Рассмотрим задачи:

Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 9 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за один день выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

В этой задаче ничего не сказано о том, какая это работа и чему равен её объем. Значит, работу можем принять за единицу.

Пусть х  — производительность первого рабочего.

Производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за у.

По условию, первый рабочий за день делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит производительность первого в три раза больше, чем у второго  х = 3у.  Отсюда у = (1/3)х.

Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 9 дней. При совместной работе производительности складываются. Значит,

Итак, первый рабочий за день выполняет 1/12 всей работы. Значит, на всю работу ему понадобится 12 дней.

Ответ: 12

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Игорь и Паша красят забор за 21 час. Паша и Володя красят этот же забор за 28 часов, а Володя и Игорь — за 36 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Здесь работают трое, и переменных будет тоже три.

Пусть х — производительность Игоря, у — производительность Паши, а z — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за 1 — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

Игорь и Паша покрасили забор за 21 час. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:

Можно искать х, у и  z по отдельности, но лучше использовать такой приём –  сложить все три уравнения. Получим:

 

Значит, работая втроем, Игорь, Паша и  Володя красят за  час одну восемнадцатую часть забора. Весь забор они покрасят за 18 часов.

Ответ: 18

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Даша и Маша пропалывают грядку за 36 минут, а одна Маша — за 108 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Обозначаем, производительность Маши х,  производительность Даши у. Можем составить уравнение:

То есть, они совместно делают работу за 36  минут.

Сказано, что Маша одна тратит 108 минут, значит х ∙108 = 1.

Можем решить систему:

Решив её, получим:

Даша за одну минуту пропалывает 1/54 грядки. Значит, всю грядку прополет за 54 минуты.

Ответ: 54

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

За 12 часов 6 рабочих сделали 960 деталей, сколько рабочих сделают 4200 деталей за 35 часов.

Рассуждаем логически:

Один рабочий за 12 часов делает 960/6=160 деталей. Тогда за час он делает 160/12 деталей — это есть его производительность. Как известно работа равна произведению производительности и времени. *Здесь у нас имеется ещё и число рабочих, которое нужно найти можем записать:

Ответ: 9

Две трубы наполняют бассейн за 7 часа 55 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 38 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Не забываем перевести минуты в часы. Кроме того, в этой задаче составим таблицу. Производительность первой трубы равна за 1/38 бассейна в час.  Производительность второй трубы обозначим  y.

Переведём минуты в часы.

Понятно, что 55 минут составляют 55/60 часа.

Можно составить пропорцию:

60 минута     –––      1 час

55 минут       –––      t  часов

Заполним таблицу для первой трубы и двух труб работающих одновременно.  Помним, что при совместной работе производительности складывают:

Можем записать уравнение:

Получили производительность второй трубы 1/10  (бассейна в час). Значит, весь бассейн она заполнит за 10 часов.

Ответ: 10

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Первая труба наполняет резервуар на 60 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 40 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Примем производительность первой трубы за х (резервуара в минуту), второй трубы у.

Составим таблицу, для первой и второй трубы заполним графу «время».

Первая труба будет заполнять резервуар за 1/х  минут, вторая   за 1/у  минут.

Первая труба наполняет резервуар на 60 минут дольше, чем вторая, то есть времени затрачивается больше

Можем записать два уравнения и решить систему:

Выразим из второго уравнения х:

Подставим в первое уравнение и решим:

Решаем квадратное уравнение:

Подставим найденные значения у в уравнение:

Система имеет два решения:

Понятно, что производительность не может быть отрицательной. Решением является первая пара. Таким образом, первая труба заполнит 1/120 резервуара в минуту, а вторая 1/60 резервуара в минуту.

Следовательно весь резервуар второй трубой будет заполнен за 60 минут.

Ответ: 60

*Посмотреть второй подход к вычислению

Можно минуты перевести в часы, тогда будем решать систему:

Выразим из второго х:

Подставим в первое уравнение и решим:

Решаем квадратное уравнение:

Подставим найденные значения у в уравнение:

Система имеет два решения:

Решением является первая пара. Первая труба заполнит ½ резервуара в час, а вторая 1 резервуар в час. То есть вторая труба наполнит его за 60 минут.

*Второй подход немного упрощает процесс вычисления, поэтому смело используйте если это вам будет удобно.

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Конечно, мало уметь просто составить таблицу и заполнить её  соответствующими данными. Кроме этого, необходимо уметь делать выводы из этой информации. Как вы видите, одни задачи сводятся к решению простого линейного уравнения, другие к решению системы уравнений.

Поэтому важно:

— уметь сопоставлять информацию данную в условии;

— понимать сам процесс совешения работы и формулу связывающую её с временем и производительностью;

— знать правила решения, оговоренные в начале статьи.

На этом закончим. В данной рубрике продолжим рассматривать задачи (прогрессии, проценты, смеси и сплавы), не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Отзывов (5)
  1. фиалка молчаливая

    ого! на каой сайт я попала. долго вчитывалась, ничего не понимаю в математике. но улыбнулась, за это спасибо.

  2. Светлана

    Спасибо! Раньше я всегда получала рассылку всего нового с вашего сайта.Уже давно не могу подписаться! А хотелось бы!!!

    • Александр

      Светлана, сейчас переделываю рассылку. Скоро об этом напишу, и материалы будут обновлённые.

  3. Светлана

    Спасибо! Буду ждать от вас рассылки.

  4. Крот

    Самая последняя задача про трубы может иметь более простое решение, если минуты вначале перевести в часы, а потом уже на конечном шаге перевести эти часы обратно. Уравнение выглядит и решается быстрее и легче.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*