28014. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону:
t — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Обратим внимание на то, что процесс рассматриваем в течение первой секунды, то есть 0 < t < 1, следовательно 0 < Пt < П (умножаем все части неравенства на Пи). Отметим, что sin (Пt) имеет положительное значение. Периодичность при решении неравенства не учитываем.
Далее определяем время, в течение которого скорость груза превышала 2,5 см/с, то есть v>2,5. Решаем неравенство:
Изобразим решение графически:
Разделим все части неравенства на Пи:
Таким образом, скорость движения будет превышать 2,5 см/с с 1/6 до 5/6 секунды от начала движения. Доля от первой секунды, когда указанное условие будет выполняться, равна
Ответ: 0,67
28012. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону:
Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле:
где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5∙10–3Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Обратим внимание на то, что процесс рассматриваем в течение первой секунды, то есть 0 < t < 1, следовательно 0 < Пt < П, (умножаем все части неравенства на Пи). Можно сделать вывод, что sin (Пt) имеет положительное значение. Далее определяем какой промежуток времени в первой секунде кинетическая энергия груза будет не менее 5∙10–3Дж, то есть:
Подставим v, получим:
Получаем два неравенства:
Второе неравенство мы рассматривать не будем, так как sin (Пt) имеет положительный знак. Решаем неравенство:
Изобразим решение неравенства графически:
Получили:
Периодичность синуса в данном случае не учитываем, так как угол рассматриваем на промежутке от 0 до Пи.
Таким образом, после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5∙10–3Дж с 0,25 до 0,75 секунды.
От первой секунды это составляет ровно половину времени, то есть 0,5 секунды.
Ответ: 0,5
28013. Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону
Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле:
Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее 5∙10–3Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.
Обратим внимание на то, что процесс рассматриваем в течение первой секунды, то есть 0 < t < 1, следовательно 0 < Пt < П (умножаем все части неравенства на Пи). Отметим, что на этом интервале имеет как положительное, так и отрицательное значение. Далее определяем, какой промежуток времени в первой секунде кинетическая энергия груза будет не менее 5∙10–3Дж, то есть:
Подставим v, получим:
Получаем два неравенства:
Изобразим решения неравенств графически
Периодичность косинуса не учитываем, так как рассматриваем угол на интервале от 0 до Пи. Делим части неравенств на Пи:
Таким образом, кинетическая энергия груза будет не менее 5∙10–3Дж с самого начала движения до 0,25 секунды, и от 0,75 до конца первой секунды. Общее время 0,25+0,25=0,5 секунды.
Ответ: 0,5
