В треугольнике ABC CH высота

Продолжаем рассматривать задачи на вычисление углов в треугольнике. Рекомендую посмотреть уже опубликованные на блоге статьи «Сумма углов треугольника. Часть 1» и «Вычисление углов в треугольнике. Часть 2». Теории здесь минимум. Необходимо знать теорему о сумме углов треугольника, признаки равенства треугольников, что такое биссектриса, свойства равнобедренного треугольника.

Каковы рекомендации? Если сходу не видите путь решения, то действуйте по принципу «Что я могу найти исходя из условия?». Если вам известны два угла в треугольнике, то найдите третий и смотрите, что можно найти далее. Не забывайте о свойствах биссектрисы угла и прочее.

Рассмотрим задачи:

В треугольнике ABC угол C равен 46⁰, AD и BE  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Нам дан всего один угол в треугольнике и сказано, что из двух других углов проведены биссектрисы. Напомню, что биссектриса это отрезок, который делит угол пополам, то есть получается  два равных угла. Понятно, что это свойство при решении задачи обязательно будет использовано.

Рассмотрим треугольник АОВ:

То есть для того, чтобы вычислить искомый угол нам достаточно найти сумму углов OAB и OBA. Используя свойство биссектрисы можем записать:

Сумму углов  А и В найдём используя теорему о сумме углов треугольника:

Таким образом:

Ответ: 113

В треугольнике АВС СН  — высота,  AD  — биссектриса, O — точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 22⁰. Найдите угол AOC.  Ответ дайте в градусах.

Искомый угол мы можем найти если в треугольнике АОС будут известны углы ОАС и ОСА. Найдём их.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как нам известно, что AD  — биссектриса и угол BAD равен 22⁰, то мы можем определить угол DAC и найти угол А.

По определению биссектрисы угла:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH.

По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 90⁰, то есть:

Значит

Рассмотрим треугольник AOC. По теореме о сумме углов треугольника:

Ответ: 112

В треугольнике ABC угол A равен 42⁰, угол C равен 80⁰. На продолжении стороны AB отложен отрезок BD = BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Если мы найдём угол CBD, то далее используя свойство равнобедренного треугольника мы без труда вычислим искомый угол.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме о сумме углов треугольника:

*На данном этапе можно сразу воспользоваться теоремой о внешнем угле треугольника. Кратко: внешний угол треугольника равны сумме его внутренних углов не смежных с ним, то есть:

Так как треугольник равнобедренный, то

Искомый угол найден.

Второй путь:

Углы ABC и CDB смежные, то есть их сумма равна 180⁰, значит:

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник BCD.

Так как BD = BC, то по свойству равнобедренного треугольника:

Далее используя  теорему о сумме углов треугольника найдём эти углы:

Таким образом, искомый угол равен 29 градусам.

Ответ: 29

В треугольнике ABC угол В равен 50⁰, угол С равен 77⁰,   — биссектриса, E — такая точка на АВ, при чём АЕ = АС. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

На что в данной задаче сразу нужно обратить внимание? На треугольники ACD и AED. Они равны по первому признаку равенства треугольников – по двум сторонам и углу между ними:

Из равенства треугольников следует равенство элементов, нас интересуют прежде всего углы:

Теперь мы в треугольнике EBD можем найти угол BED и далее используя теорему о сумме углов треугольника вычислить искомый угол:

Рассмотрим треугольник BDE. По теореме о сумме углов треугольника:

Два угла нам известны, можем записать:

Таким образом искомый угол равен 27 градусам.

Второй путь решения:

Можно сразу же исходя из данных найти угол А.

Рассмотрим треугольник ABC:

По определению биссектрисы угла:

Рассмотрим треугольник ACD:

Треугольники  ACD и AED равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольника следует равенство соответствующих элементов, то есть:

Таким образом, мы можем найти искомый угол:

Ответ: 27

27764. В треугольнике АВС угол С равен 58^о, AD и BE  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27767. В треугольнике  ABC CH  — высота,  AD  — биссектриса, O — точка пересечения прямых CH и AD, угол BAD равен 32⁰. Найдите угол AOC.  Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27769. В треугольнике ABC угол A равен 44⁰, угол C равен 62⁰. На продолжении стороны AB отложен отрезок BD = BC. Найдите угол D треугольника BCD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

27776. В треугольнике ABC угол В равен 45⁰, угол С равен 85⁰,  AD — биссектриса, E — такая точка на AB, что AE = AC. Найдите угол BDE. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В подобных задачах при решении на самом ЕГЭ нет необходимости подробно расписывать все преобразования, я делаю  это  только для того, что вы увидели логику рассуждений.

На экзамене поступайте так: нарисуйте крупный эскиз, и подписывайте величины данных и найденных углов. Не торопитесь, чтобы не ошибиться. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.