Подготовка к ЕГЭ по математике 2017 бесплатно!
Программируемые LEGO конструкторы! Посмотреть!

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника. В этой статье мы с вами рассмотрим задачи на решение треугольников. Это целая группа задач входящая в открытый банк заданий ЕГЭ по математике. Задачи такого же типа будут и на самом ЕГЭ. Это несложные задачи, решаются они в два-три действия. Всё решение основывается на знании:

— теоремы о сумме углов треугольника;

— свойства углов в равнобедренном треугольнике;

— свойств углов прямоугольного треугольника;

— свойства биссектрисы угла.

Сначала немного основной теории и преступим к решению задач.

Сумма углов треугольника

Вывод: если нам будут известны любые два угла в треугольнике, то мы всегда сможем найти третий угол.

Следствие: сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусам.

* * *

Теорема о внешнем угле треугольника:

Рассмотрим произвольный треугольник с углами:

Значит по теореме:

Доказательство:

Сначала вспомним, что такое развёрнутый угол, чему он равен и что такое смежные углы:

По теореме о сумме углов треугольника:

Следовательно:

Из  выражения (1) следует, что:

Получили, что

Теорема доказана.

Конечно же, данная теорема скорее следствие из теоремы о сумме углов треугольника, чем «самостоятельная» теорема.

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам.

27445. В треугольнике АВС угол С равен 118о, АС = ВС. Найдите угол А. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим равнобедренный треугольник AВC.

По свойству равнобедренного треугольника:

По теореме о сумме углов треугольника:

Ответ: 31

27747. В треугольнике ABC АС = ВС. Внешний угол при вершине B равен  122о.  Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим равнобедренный треугольник AВC. Углы  АВС и DBC смежные, то есть их сумма равна 180 градусам. Найдём угол АВС:

По свойству равнобедренного треугольника:

По теореме о сумме углов треугольника она равна 180о.

Получаем уравнение:

Ответ: 64

27751. Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 40о. Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим равнобедренный треугольник AВC.

По теореме о сумме углов треугольника:

Сумма смежных углов равна 180 градусам. Углы АВС и CBD смежные, значит:

Следовательно:

*Если вы помните свойство внешнего угла в треугольнике, то можете сразу его записать, в противном случае его всегда можно вывести.

В условии сказано, что сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна 40о. Это означает, что на сумму углов

Значит

Таким образом,

Ответ: 160

27757. В треугольнике ABC угол A равен 30о, CH — высота, угол BCH равен 22о. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

По свойству острых углов прямоугольного треугольника их сумма равна 90 градусам, то есть:

Найдём угол АСН:

Теперь можем найти угол АСВ:

Ответ: 38

27768. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD  и  AB = AD = CDНайдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

В данном треугольнике не дано ни одного угла. Это значит, что необходимо обозначить какой-либо угол через переменную х, и далее используя свойство биссектрисы и теорему о сумме углов треугольника решить задачу. Пусть угол С равен х градусов, тогда

так как  треугольник ADC равнобедренный (AD = DC по условию).

Далее:

так как AD биссектриса.

Значит угол САВ равен 2х.

Известно, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов несмежных с ним, то есть:

Так как треугольник BAD равнобедренный (AD = AB по условию), то

Получили, что

По теореме о сумме углов треугольника:

Получили,  что  меньший угол равен 36 градусам. Два других равны по 72 градуса.

*Обратите внимание! Не смотря на то, что дан эскиз равнобедренного треугольника, в условии не сказано, что он таковым является. Мы в ходе решения мы, конечно, это установили. Но сразу, без обоснования, принимать его за равнобедренный нельзя. Используйте известные вам свойства для решения.

В треугольнике ABC угол A равен 40о, внешний угол при вершине B равен  102о. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC угол A равен 38о, AC = BC. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC АС = ВС, угол С равен 52оНайдите внешний угол  CBD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC AB = BC. Внешний угол при вершине B равен 138о . Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC угол C равен 90о, CH  — высота, угол A равен  34о. Найдите угол BCH. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC AD  — биссектриса, угол C равен 50о, угол CAD равен 28о. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC AD  — биссектриса, угол C равен 30о, угол BAD  равен 22о. Найдите угол ADB. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC АС = ВС, AD  — высота, угол BAD равен 24о. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC CD  — медиана, угол ACB равен 90о, угол В равен 58о. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Какие можно дать рекомендации?

1. Необходимо знать теорему о сумме углов треугольника.

2. Если в задаче сразу не увидели как выстроить решение, то следуйте принципу – «что можно найти исходя из данных».

3. Если стоит вопрос о нахождении углов и в условии нет никаких числовых величин, то смотрите, что (какой угол) можно обозначить переменной, и далее используйте известные вам свойства опираясь на данные в условии.

4. При решении подобных задач удобно на сделанном эскизе подписывать полученные углы, вычисления без особых затруднений проводятся  устно.

В будущем мы продолжим рассматривать задачи связанные с суммой углов треугольника (здесь представлены не все типы), не пропустите! На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой. Супер тренинг!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

50 базовых упражнений лечебной физкультуры!

Один отзыв
  1. Альберт

    Хорошее стихотворение. Пробирает.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

*