Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике
Домашняя школа 5-11 класс!

Острый угол прямоугольного треугольника равен

Для вас несколько заданий — в условии дан прямоугольный треугольник. В условии говорится о вычислении углов между высотой и биссектрисой, медианой и биссектрисой, высотой и медианой проведёнными из прямого угла.

Это группа заданий входит в состав ЕГЭ по математике. Задачи несложные, требуется знание теоремы о сумме углов треугольника, свойств равнобедренного треугольника и немного логики. Да! Есть один нюанс — задачи, в  которых говорится о медиане проведённой к гипотенузе необходимо знать одно свойство, теорию можно посмотреть здесь. Приступим!

Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого.  Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Обозначим меньший острый угол прямоугольного треугольника через x. Тогда больший острый угол данного  треугольника будет равен 4х.

По свойству прямоугольного треугольника сумма его острых углов равна 90о. Отсюда получаем уравнение  х + 4х = 90о.

Вычисляем, получим 5х = 90о,  х = 18о.

Следовательно больший угол будет равен 18о ∙ 4 = 72о

Ответ: 72

Острый угол прямоугольного треугольника равен 32о. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.

Нам необходимо найти угол COD. По условию известно, что CE и AD  - это  биссектрисы (делят углы пополам). Это означает, что угол CAD равен 32о, а угол ACO равен 45о. По теореме о сумме углов треугольника мы можем найти угол AOC, и далее угол COD. Итак, известно, что сумма углов треугольника равна 180о, следовательно

Углы AOC и COD  смежные, то есть их сумма равна 180о. Таким образом, искомый угол (острый угол между данными биссектрисами) равен 61 градусу.

Ответ: 61

*Если в подобных задачах вы сразу не видите ход решения, то ищите те элементы, которые можно найти исходя из условия в первую очередь. А далее уже используйте найденные значения.

Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

В условии нам не даны ни какие величины, кроме того, что угол С прямой. Это говорит  о том, что их необходимо ввести, то есть в данном случае мы можем обозначить угол через переменную,  а далее использовать свойства прямоугольного треугольника и теорему о сумме углов.

Обозначим угол CAD как х. Тогда угол CBA будет равен 90о х.

Рассмотрим треугольник AOB:

Можем найти угол AOB:

Значит острый угол между биссектрисами будет равен 45о, так является смежным углу 135о.

Как видите, не всегда нужны численные величины в условии. Достаточно знать свойства, включить логику и задача будет решена.

Ответ: 45

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21о. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах. 

Сразу отметим, что в треугольнике CDH нам известны два угла. Используя теорему о сумме углов треугольника мы можем найти угол CDH. То есть:

Теперь мы можем найти угол В в треугольнике CDВ. Так как CD биссектриса, то угол BCD равен 45о, угол CDB мы нашли.

Значит угол В равен 180о–45о–69о=66о. По свойству прямоугольного треугольника: сумма острых углов в нём равна 90 градусов.

Следовательно  другой острый угол будет равен 24о.

Ответ: 24

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14о. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах. 

Нам дан угол MCD равный 14о. Так же нам известен угол DCB, он равен 45о, так как CD биссектриса. Можем найти угол MCB: 14о + 45о = 59о.

Как уже сказано, медиана в прямоугольном треугольнике проведённая из прямого угла к гипотенузе равна её половине. То есть, она разбивает прямоугольный треугольник на два равнобедренных треугольника, в данном случае AMC и BMC. Известно, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть угол MBC равен углу BCM. Таким образом,

То есть, меньший угол равен 31о.

Ответ: 31

Один острый угол прямоугольного треугольника на 32о  больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике АВС угол С равен 90о, СН  — высота, угол А равен 34о. Найдите угол ВСН. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В треугольнике ABC CD  — медиана, угол ACB равен 90о, угол В равен 58о. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Острые углы прямоугольного треугольника равны 29о  и 61о. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Острые углы прямоугольного треугольника равны 24о и 66о. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40о. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Острые углы прямоугольного треугольника равны 24о и 66о. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Посмотреть решение

Какие общие рекомендации можно дать?

1. Используйте теорему о сумме углов треугольника. Это одна из основных теорем, связанных с треугольниками, её нужно всегда помнить.

2. Нужно чётко помнить, что такое медиана, биссектриса, высота (не перепутать).

3. Запомните свойство медианы  в прямоугольном треугольнике.

4. В задачах, где в условии не даны численные величины углов, обозначайте их переменной(ыми) и далее используйте известные вам свойства.

5. Если не видите каким путём строить решение, и сразу не можете увидеть логическую цепочку рассуждений, то исходя из данных в условии ищите то, что возможно найти. Получив новые величины, также смотрите, что вы можете найти при их использовании.

На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.


Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Школа репетиторов Анны Малковой!

Онлайн-обучение, подготовка к ЕГЭ и ОГЭ по предметам!

Все секреты здоровья позвоночника!

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

три × четыре =

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.